191问答库 > 已知数列{an}的通项an=1⼀（n+1)^2,(n∈N)，记bn=(1-a1)(1-a2)…(1-an)

已知数列{an}的通项an=1⼀（n+1)^2,(n∈N)，记bn=(1-a1)(1-a2)…(1-an)

2025-02-27 08:45:08

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回答1：

1.b1=1-a1=3/4
b2=(1-a1)(1-a2)=3/4*8/9=2/3
b3=(1-a1)(1-a2)=3/4*8/9*15/16=5/8
2.bn=(n+2)/2(n+1)
1-an=(n^2-1)/n^2=(n+1)(n-1)/n^2
bn=(1*3/2^2)*(2*4/3^2)*……*[n(n+2)/(n+1)^2]=(n+2)/2(n+1)
数学归纳法证：n=1时b1=3/4
设n=k时成立，则n=k+1时
b(k+1)=bk*(1-a(k+1))
=(k+2)/2(k+1)*(k+1)(k+3)/(k+2)^2
=(k+3)/2(k+2),得证
3.是n趋于无穷的极限吧？
p1+p2+p3+…+pn=b1-b2+……+bn-b(n+1)=b1-b(n+1)
lim(p1+p2+p3+…+pn)
=lim[b1-b(n+1)]
=b1-lim[b(n+1)]
=3/4-1/2
=1/4