191问答库 > 已知函数f（x）=ex-ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为-1．（1）求a的值

已知函数f（x）=ex-ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为-1．（1）求a的值

2024-11-14 12:31:51

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回答1：

（1）由f（x）=e^x-ax得f′（x）=e^x-a．
又f′（0）=1-a=-1，∴a=2，
∴f（中穗慎x）=e^x-2x，f′（x）=e^x-2．
由f′（x）=0得x=ln2，
当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
∴当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=e^ln2-2ln2=2-ln4．
f（x）无极大值．
（2）令g（x）=e^x-x²，则g′（x）=e^x-2x，
由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=e^ln2-2ln2=2-ln4＞0，即g′（x）＞0，
∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x²＜e^x；
（3）对任意给定的正数c，总存在x₀=

＞0．当x∈（x₀，+∞）时，
由族槐（2）得e^x＞x²＞

x，即x＜ce^x．
∴对任意给定的正数c，总存卖敬在x₀，使得当x∈（x₀，+∞）时，恒有x＜ce^x．