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求z=6-x^2-y^2及z=√x^2+y^2所围成的立体体积？

2025-03-04 12:26:45

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回答1：

立体体积可用三重积分表示，V=∫∫∫dxdydz，积分区域为z=6-x^2-y^2及z=√x^2+y^2所围成的立体，联立两曲面方程，解得z=2即两曲面的交接面。用截面法计算此三重积分，V=∫（0到2）dz∫∫dxdy+∫（2到6）dz∫∫dxdy=π∫（0到2）z^2dz+π∫（2到6）(6-z)dz=32π/3

回答2：

先画草图，再求体积

回答3：

z=√(2-x^2-y^2)
是半径平方为2的球，体积v=32/3派

x^2+y^2=z过球心且平行于xoy面的圆面积。
曲面z=√(2-x^2-y^2)及x^2+y^2=z所围成的立体的体积=1/2v=16/3派