191问答库 > 已知函数f（x）=kx（k≠0），且满足f（x+1）?f（x）=x2+x，（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数f（

已知函数f（x）=kx（k≠0），且满足f（x+1）?f（x）=x2+x，（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数f（

2025-03-03 05:06:18

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回答1：

（Ⅰ）∵f（x）=kx（k≠0），且满足f（x+1）?f（x）=x²+x，
∴f（x+1）?f（x）=k（x+1）?kx=x²+x，
即k²（x²+x）=x²+x，
∴k²=1，解得k=1或-1，
即函数f（x）的解析式f（x）=±x；
（Ⅱ）若函数f（x）为定义域上的增函数，则f（x）=x，
即h（x）=

f(x)+1

f(x)?1

=

x+1

x?1

=

x?1+2

x?1

=1+

2

x?1

（f（x）≠1），在（1，+∞）和（-∞，1）上分别单调递减，
假设存在实数m使得h（x）的定义域和值域都为[m，m+1]，
若m＞1，则

f(m)＝m+1

f(m+1)＝m

，即

m+1

m?1

＝m+1

m+2

m

＝m

．
∴

m?1＝1

m+2＝m2

，即