求解一道高中数学题

在三角形ABC中，C=2A,a+c=10,cosA=3/4，求b

2025-04-02 12:01:32

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回答1：

cosA=3/4
sinA=√7/4
sinC=2sinAcosA=3√7/8
cosC=-1/8
cosB=-cos(A+C)=sinAsinC-cosAcosC=21/32+3/32=3/4
所以，cosA=cosB
b=a

a/sinA=c/sinC
a*3√7/8=c*√7/4
a/c=2/3
a+c=10
所以，a=4,c=6

所以，b=a=4

回答2：

cosC=cos2A=2cos²A-1=1/8
三角形内角的正弦都是正数
由sin²x+cos²x=1
所以sinA=√7/4,sinC=3√7/8
所以sinB=sin[180-(A+C)]=sin(A+C)
=sinAcosC+cosAsinC
=5√7/16

a/sinA=c/sinC=b/sinB
由合比定理
(a+c)/(sinA+sinC)=b/sinB
10/（5√7/8）=b/(5√7/16)
b=5