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数列{an}满足a1=2,a(n+1)=an+2^n,求数列{an}的通向公式

2025-03-01 05:09:07

推荐回答（4个）

回答1：

a(n+1)=an+2^n
==>a(n+1)-an=2^n
故
an-a(n-1)=2^(n-1)
.....
a3-a2=2^(3-1)=2^2
a2-a1=2^(2-1)=2^1

以上式子相加得
an-a1=2^1+2^2+...+2^(n-1)
即an=2^1+2^2+...+2^(n-1)+a1
=a1*（1－2^n）/(1－2)+a1
=4(2^n-1)+4
即an=2^n

回答2：

用累加法：
an=a(n-1)+2^(n-1)
a(n-1)=a(n-2)+2^(n-2)
…
a2=a1+2^1
等号左右分别相加得：
an=2+[2+2^2+2^3+…+2^（n-1）]
=2+2+2^2+2^3+…+2^（n-1） Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
=2＋2^n-2（等比数列求和）
＝2^n

回答3：

a(n+1)=an+2^n

a(n+1)-2^（n+1）=an-2^n=a1-2^1=0

所以：an-2^n=0

an=2^n

回答4：

an=an-1+2^(n-1)
an-1=an-1+2^(n-2)
.
.
a2=a1+2
全部相加得an=a1+2+4+..+2^(n-1)=2^n