高中数学不等式问题（有难度）

x=1,2x=x^2+1=2
则此时ax^2+bx+c=a+b+c=2

ax^2+bx+c<=2x
ax^2+(b-2)x+c>=0恒成立
则开口向上
a>0,判别式小于等于0
(b-2)^2-4ac<=0
a+b+c=2
所以b-2=-a-c
所以(-a-c)^2-4ac<=0
(a-c)^2<=0
则只有a-c=0
a=c

ax^2+bx+c<=x^2+1
(a-1)x^2+bx+(c-1)<=0
恒小于0则开口向下，a-1<0,a<1
且判别式小于0
b^2-4(a-1)(c-1)<=0
a+b+c=2,
a=c,所以b=2-2a
所以(2-2a)^2-4(a-1)^2<=0
即0<=0,成立

综上
a+b+c=0
a=c,
0由已知，a不等于1/2
所以（2/3 ,2/3,2/3) 符合
当然还有其他的
比如(1/2,1,1/2)

左边小于号的两边进行整理后，A>=0,判别式<=0
右边小于号的两边进行整理后,A-1<=0,判别式<=0
最后就能得出A,B,C的取值范围.

由题意
1. ax²+（b-2）x+c≥0
由二次曲线图像性质得
a≥0 （b-2）²-4ac≤0 图像在X轴上方
2. （a-1）x²+bx+（c-1）≤0
那么a-1≤0 b²-4（a-1）（c-1）≤0 图像在X轴下方

找到符合
a≥0
a-1≤0
（b-2）²-4ac≤0
b²-4（a-1）（c-1）≤0
的a b c即可

刚看了楼上的答案，发现自己的确少了一个条件
a+b+c=2
解释见楼上

其实如令f（x）=ax^2+bx+c，T（x）=2x，F（x）=x^2+1,
那么f（1)=F(1)=T(1)=2,既然T（x)<=f(x)<=F(x),
所以三函数于点（1，2）处两两相切，
即T`(1)=f`(1)=F`(1),T（1）=f（1）=F（1）
于是知2=2a+b=2，
且知2=a+b+c=2.
所以a=c，b=2-2a。
在用根的判别式缩小a的范围，可得结果。