三角形内最大正方形的做法

探索三角形内接最大正方形的尺规作法

摘要: 三角形内接最大正方形是现实生活中常见的问题,代数方法是解决相关题目的常用做法,代数几何是从来不分家的,利用已学知识去探索问题的几何做法,也是一种重要的数学思想.
关键词:探索 尺规作图 位似图形
三角形内接最大正方形最常用的代数法是利用相似三角形原理,这也是我们最容易想到的方法,但是这种方法涉及到用直尺测量和计算所产生的误差,所以最后作出的正方形的精度打了折扣,而尺规作图可以在很大程度上减小误差提高精度.
首先让我们回忆一个概念------位似图形:如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应边的连线交与一点,那么这两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心.例如下面两组图形就是位似图形,位似中心为O

从概念和图象都可以看出位司图形包括三个要素:两个图形和一个中心.显然,想作出其中的一个图形,只要知道两外一个图形的位置和位似中心即可,下面我们就切入正题.
作出△ABC的最大内接正方形:
利用位似图形的原理,选择一个位似中心和再作出那个一个正方形便可作出三角形内接最大正方形,那么这个位似中心和这个这个正方形怎么找呢?
探索位似中心:
位似中心是一个点,这个点选在哪儿比较好呢?看图------三角形,三个顶点,选择其中的一个顶点作为位似中心最自然,就选点A.

探索另一个正方形:
在哪儿呢?也太抽象了吧!?不!!还要从位似图形的概念上下手。
位似中心是对应顶点的连线,也就是说每条线上都有两个顶点,我们知道三角形内接最大正方形有两个顶点分别在AB,AC上,A为位似中心,那么另外一个正方形的顶点也必然在AB,AC或者是AB,AC的延长线上,三角形内接最大正方形的具体位置在哪儿暂时不知道,但是我们可以猜测出它的大概位置,辅助我们来探索.
假设四边形DEFG为△ABC的内接最大正方形的大概位置,那么连结AD,AE,AF,AC并延长,我们正在寻找的与三角形内接最大正方形相似的这个正方形的四个顶点便分别在这四条线上,我们一直在寻找的这个正方形已经快要浮出水面了!点B,点C就在其中的两条线上,BC和我们在探索的正方形有什么关系呢?过B,C分别做BX,CY垂直BC叫AE,AF于X,Y,连结XY,四边形BCYX便是我们要找的,终于找到了!正方形BCYX实际上就是以BC为边长,想下作出的正方形,这个正方形很容易就可以作出来!
再回过头来, △ABC内接最大正方形的尺规做法怎么叙述呢:
作法:
1,以△ABC的一边BC为一边,向下作正方形BCYX
2,连接AX.BY与BC交于E,F.
3,分别过E,F作ED,FG分别交AB,AC于D,G.
4,连结DG四边形EFGD便是所求图形
由此便探索出了三角形内接最大正方形的一种尺规作法，我们是选顶点A作为位似中心，那么点B，点C可不可以做位似中心呢？答案是肯定的。一共是四种做法。

在三角形中画一个最大正方形，如图利用相似比可以求出来，设正方形为x  哪么(ah-x)/x=ah/bc 应可以求出的。

三角形面积S,其中一个边的边长为C,那么正方形的边长为a=S*C/(C*C+S)
将3个边长分别代入比较，可以求得最大的a，并在这条边上做出正方形。