14.在锐角三角形ABC中,若sinA=2 sinBsinC,则 tanAtanBtanC的最小值是＿＿＿＿。

在锐角三ΔABC中
sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC
由已知sinBcosC+cosBsinC=2 sinBsinC
tanB+tanC=2tanBtanC (1)
tanA=-tan(B+C)=(tanB+tanC)/(tanBtanC-1)
tanA=(tanB+tanC)/(tanBtanC-1) (2)
其中tanA,tanB,tanC都是正数.
tanAtanBtanC
=((tanB+tanC)/(tanBtanC-1))tanBtanC
=(2tanBtanC/(tanBtanC-1))tanBtanC
=2(tanBtanC)²/(tanBtanC-1)
设 m=tanBtanC-1,则m>0
tanAtanBtanC=2(m+1)²/m
=2(m+(1/m))+4
≥4+2·2√(m·(/1m))
=8
当 m=tanBtanC-1=1 即tanBtanC=2时取"="
此时tanBtanC=2,tanB+tanC=4,tanA=4
所以 tanAtanBtanC的最小值是8
(在tanBtanC=2,tanB+tanC=4,tanA=4时取到)

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