柯西数列和有界数列的关系

2025-04-07 01:37:20

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回答1：

一个数列是柯西数列，那么它就是有界数列
请问这个命题如何证明？？？
看来，楼主对柯西收敛原理的充分性证明存有疑虑，所以解答楼主的问题必须得绕开柯西收敛原理。呵呵！
证明
设数列{an|是柯西数列,则由柯西数列的定义知：对于任意事先给定正数ε，存在正整数N,
使得对于任意m,n>N,恒有
|am-an|<ε
(1)
特别地，在(1)中，取ε=1,m=N+1,则对于任意n>N，有
|an|=|(an-a(N+1))+a(N+1)|
≤|an-a(N+1)|+|a(N+1)|
=|a(N+1)-an|+|a(N+1)|
<1+|a(N+1)|;
令M=max{|a1|,|a2|,…,|aN|,1+|a(N+1)|},则对于正整数n，恒有
|an|≤M.
因此，数列{an}是有界数列.