问一下泰勒公式的理解

1.泰勒展开只是对于一小段区域而言的,不是整体性质.
2.为什么满足那个条件就能使这两个函数那么相似?(因为有一个余项所以不能叫相同)
那个条件的意义是什么你知道吗?
其本质是它们两个函数(记右边的逼近函数为g(x))在x=x0点的函数值相等:f(x0)=g(x0)
1阶导数相等:f'(x0)=g'(x0)
2阶导数相等:f''(x0)=g''(x0)
直到n阶导数都相等:f^(n) (x0)=g^(n) (x0)
这已经是在一点(x=x0)上所能够想到的使两个函数相似的最极致的办法了吧?
如果无法体会那么可以画图想象一下:
先只让f(x0)=g(x0),那么就是在x=x0上两个函数相交而已
那么进一步让f'(x0)=g'(x0),那么在x=x0上便不只是相交,而且切线相同.(这时候你甚至已经难以画清了)
再进一步让2阶导相等,那么不只是切线相同,而且凹凸性也相同.
...
那么要求直到n阶导相等就会让两个函数越来越相似了.
3.对于估计(30)^(1/3)我就大概说一下了.
取x0=27,展开即可.因为(27)^(1/3)容易得到,而且离30近.

由于泰勒公式里的n是有限的，如果不考虑余项的话，函数和其在某点处的泰勒公式是不相等的，（但是n无限的话一般就相等，那是无穷级数的内容了。）你写的那个式子里没有余项，所以是不能划等号的，它们相差一个比(x-x0)^n更高阶的无穷小量，用拉格朗日型余项表示为f‘(n+1)(ξ)(x-x0)^(n+1)/(n+1)!，f'(n+1)表示n=1阶导数，注意这个n+1阶导数是在x和x0之间的某一中值ξ处取值的，只有加上这一项，f(x)才和它在x0点的泰勒展开式相等。用泰勒公式做近似计算时通常就不考虑余项了，虽然只要n阶可导的函数都可以写出泰勒公式，但实际能用来做近似计算的并不多，例如你说的三次根号x，计算它在某点各阶导数是得不出具体数值的（虽然存在），所以在它的泰勒公式中各项系数都是不知道的，因此这个展开式对于近似计算就没什么用。