解答:
解:(1)当a=2,x∈[0,3]时,f(x)=x|x-2|+2x=
作函数图象,
可知函数f(x)在区间[0,3]上是增函数.
所以f(x)在区间[0,3]上的最大值为f(3)=9.
(2)f(x)=
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x2+(2?a)x,x≥a |
?x2+(2+a)x,x<a
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①当x≥a时,f(x)=
(x?
)2?.
因为a>2,所以
<a.
所以f(x)在[a,+∞)上单调递增.
②当x<a时,f(x)=-
(x?
)2+.
因为a>2,所以
<a.
所以f(x)在(-∞,
]上单调递增,在[
,a]上单调递减.
综上所述,函数f(x)的递增区间是(-∞,
]和[a,+∞),递减区间是[
,a].
(3)当3≤a≤6时,由(1)知f(x)在(-∞,
]和[a,+∞)上分别是增函数,在[
,a]上是减函数,
当且仅当
2a<t+2a<时,方程f(x)=t+2a有三个不相等的实数解.
即
0<t<令
g(a)=,g(a)在a∈[3,6]时是增函数,
故g(a)
max=4.
∴实数t的取值范围是(0,4).