解答：
解：（1）当a=2，x∈[0，3]时，f（x）=x|x-2|+2x=
作函数图象，
可知函数f（x）在区间[0，3]上是增函数．
所以f（x）在区间[0，3]上的最大值为f（3）=9．
（2）f（x）=
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x2+(2?a)x，x≥a |
| ?x2+(2+a)x，x＜a
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①当x≥a时，f（x）=
(x?
)2?．
因为a＞2，所以
＜a．
所以f（x）在[a，+∞）上单调递增．
②当x＜a时，f（x）=-
(x?
)2+．
因为a＞2，所以
＜a．
所以f（x）在（-∞，
]上单调递增，在[
，a]上单调递减．
综上所述，函数f（x）的递增区间是（-∞，
]和[a，+∞），递减区间是[
，a]．
（3）当3≤a≤6时，由（1）知f（x）在（-∞，
]和[a，+∞）上分别是增函数，在[
，a]上是减函数，
当且仅当
2a＜t+2a＜时，方程f（x）=t+2a有三个不相等的实数解．
即
0＜t＜令
g(a)＝，g（a）在a∈[3，6]时是增函数，
故g（a）
max=4．
∴实数t的取值范围是（0，4）．
