因为
(1+x)?lim x→0
=1 x
(1+x)lim x→0
?(?1)=e-1，1 x
所以
f(x)存在，且f（0）=lim x→0
f(x)，lim x→0
从而f（x）在x=0处连续．
为判断f（谈猜羡x）在x=0处是否可导，只需判断
lim x→0
是否存在．含拍f(x)?f(0) x?0
对于任意x≠0，
f（x）=(1+x)?
，1 x
故 ln f（x）=?
ln(1+x)，1 x
从而，
=f′(x) f(x)
ln(1+x)-1 x2
，x 1+x
整理即得，
f′（x）=(1+x)?
(1 x
ln(1+x)?1 x2
)，?x≠0．x 1+x
利用洛必达法则可得，
lim x→0
f(x)?f(0) x?0
=
lim x→0
(1+x)?
?e?1
1 x x
=
lim x→0
((1+x)?
?e?1)′1 x x′
=
(1+x)?lim x→0
(1 x
ln(1+x)?1 x2
)，x 1+x
因兆晌为
(1+x)?lim x→0
=e-1≠0，1 x
(lim x→0
ln(1+x)?1 x2
)x 1+x
=
lim x→0
(1+x)ln(1+x)?x3
x2(1+x)
=
lim x→0
((1+x)ln(1+x)?x3)′ (x2(1+x))′
=
lim x→0
ln(1+x)+1?3x2
2x+3x2
=∞，
故
lim x→0
f(x)?f(0) x?0
=
lim x→0
(1+x)?
?e?1
1 x x
=∞，
从而f（x）在x=0处不可导．
综上，f（x）在x=0处连续但不可导．
故选：C．
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