德摩根公式及证明

定理定义

形式逻辑中此定律表达形式：

在集合论中：

在概率论中;

逻辑证明

设x属于Cu(A∪B),

则x属于u却不属于A∪B

所以x属于u却不属于A,也不属于B,

故x属于CuA和CuB,

故X属于CuA∩CuB,

反过来,式子仍然成立.

同理,另一式也成立.

扩展资料：

德·摩根的发现影响了乔治·布尔从事的逻辑问题代数解法的研究，这巩固了德·摩根作为该规律的发现者的地位，尽管亚里士多德也曾注意到类似现象、且这也为古希腊与中世纪的逻辑学家熟知(引自Bocheński《形式逻辑历史》)。

在经典命题逻辑的外延中，此二元性依然有效(即对于任意的逻辑运算符，我们都能找他它的对偶)，由于存在于调节否定关系的恒等式中，人们总会引入作为一个算符的德·摩根对偶的另一个算符。

这导致了基于传统逻辑的逻辑学的一个重要性质，即否定范式的存在性：任何公式等价于另外一个公式，其中否定仅出现在作用于公式中非逻辑的原子时。

否定常型的存在推进了许多应用，例如在数字电路设计中该性质用于操纵逻辑门，以及在形式逻辑中该性质是寻找一个公式的合取范式和析取范式的必要条件；电脑程序员们则用它们将一个类似于IF ... AND (... OR ...) THEN ... 这样的复杂语句转变为其对等形式。

应用领域

在其用于可能性和必然性的真势模态的应用中，亚里士多德注意到该情况，以及在正规模态逻辑的情况中，这些模态算符对量化的关系可借助按关系语义设置模型来理解。

参考资料：百度百科--德·摩根定律

　　德摩根公式一般指德·摩根定律。
　　在命题逻辑和逻辑代数中，德·摩根定律（或称德·摩根定理）是关于命题逻辑规律的一对法则。
　　奥古斯塔斯·德·摩根首先发现了在命题逻辑中存在着下面这些关系：
　　非(P 且 Q) = (非 P) 或 (非 Q)
　　非(P 或 Q) = (非 P) 且 (非 Q)
　　德·摩根定律在数理逻辑的定理推演中，在计算机的逻辑设计中以及数学的集合运算中都起着重要的作用。 他的发现影响了乔治·布尔从事的逻辑问题代数解法的研究。这巩固了德摩根作为该规律的发现者的地位，尽管亚里士多德也曾注意到类似现象，且这也为古希腊与中世纪的逻辑学家熟知。
　　在其用于可能性和必然性的真势模态的应用中，亚里士多德注意到该情况，以及在正规模态逻辑的情况中，这些模态算符对量化的关系可借助按关系语义设置模型来理解。

公式【（A∪B）∩C=（A∩B）∪（A∩C）】
其中A、B、C是集合。
用证明集合相等的方法可证出。
即证明，左边（右边且右边（左边。
即证，任一元素属于左边就一定属于右边；
任一元素属于右边就一定属于左边。