求函数z=x3 +y3-3xy的极值

求z=x³+y³-3xy的极值

解：令 ∂z/∂x=3x²-3y=0，得y=x²..........①

再令 ∂z/∂y=3y²-3x=0，得x=y²..............②

将①代入②式得x=x^4，即x^4-x=x(x³-1)=x(x-1)(x²+x+1)=0，得x₁=0，x₂=1；

故y₁=0；y₂=1；即有驻点M(0，0)和N(1，1)；

对两故驻点分别求二阶偏导数：

M(0，0)：A=∂²z/∂x²=6x=0；B=∂²z/∂x∂y=-3；C=∂²z/∂y²=6y=0；B²-AC=9-0=9>0;

故M不是极值点。

N(1，1)：A=6x=6>0；B=-3；C=6y=6；B²-AC=9-36=-27<0，故N是极小点。

极小值f(x,y)=f(1，1)=1+1-3=-1

扩展资料：

函数在其整个定义域内可能有许多极 大值或极小值，而且某个极大值不 一定大于某个极小值。函数的极值 通过其一阶和二阶导数来确定。

对于一元可微函数f (x)，它在某点x0有极值的充分必要条件是f(x)在x0的某邻域上一阶可导，在x0处二阶可导，且f'(X0)=0，f"(x0)≠0，那么：

1）若f"（x0）<0，则f在x0取得极大值；

2）若f"（x0）>0，则f在x0取得极小值。

求z=x³+y³-3xy的极值
解：令 ∂z/∂x=3x²-3y=0，得y=x²..........①
再令 ∂z/∂y=3y²-3x=0，得x=y²..............②
将①代入②式得x=x^4，即x^4-x=x(x³-1)=x(x-1)(x²+x+1)=0，得x₁=0，x₂=1；
故y₁=0；y₂=1；即有驻点M(0，0)和N(1，1)；
对两故驻点分别求二阶偏导数：
M(0，0)：A=∂²z/∂x²=6x=0；B=∂²z/∂x∂y=-3；C=∂²z/∂y²=6y=0；B²-AC=9-0=9>0;
故M不是极值点。
N(1，1)：A=6x=6>0；B=-3；C=6y=6；B²-AC=9-36=-27<0，故N是极小点。
极小值f(x,y)=f(1，1)=1+1-3=-1.