191问答库 > 已知数列{an}前n项和为Sn,且Sn=2an-n， (1)求证，数列{an+1}为等比数列，请问

已知数列{an}前n项和为Sn,且Sn=2an-n， (1)求证，数列{an+1}为等比数列，请问

2025-02-27 18:22:20

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回答1：

⑴Sn=3/2an-1，∴S(n-1)=3/2A(n-1)-1,两式相减整理得：An/A(n-1)=3,{an}是等比数列，公比为3，首项由Sn=3/2an-1得，另n=1,S1=a1得：A1=2，∴An=2*3^(n-1)⑵B(n+1)-Bn=2*3^(n-1)∶Bn=(Bn-B(n-1))+(B(n-1)-B(n-2))+.+(B2-B1)+B1,这是迭代法，用大写字母便于区别下标=2*3^(n-2)+2*3^(n-3)++2*3^0+5=2(3^(n-2)+3^(n-3)++3^0)+5=2*(1-3^(n-1))/(1-3)+5=3^(n-1)+4

回答2：

Sn=2an-n
S(n-1)=2a(n-1)-(n-1)
Sn-S(n-1)=2an-n-2a(n-1)+(n-1)=2an-2a(n-1)+1
an=2an-2a(n-1)-1
an=2a(n-1)+1
an+1=2[a(n-1)+1]
[an+1]/[a(n-1)+1]=2
{an+1}为等比数列