y的立方×y的二阶导数—1=0，求微分方程的通解

不用理我，我只是来做做题而已，解得这么复杂你也不想看吧，大学生就喜欢复杂的。
解法一：
y³y''
=
1
设v
=
dy/dx，dv/dx
=
d²y/dx²
dv/dy•dy/dx
=
d²y/dx²
y³•dv/dy•v
=
1
dv/dy•v
=
1/y³
v
dv
=
1/y³
dy
v²/2
=
-1/(2y²)
+
C
v²
=
-1/y²
+
C₁
=
(C₁y²
-
1)/y²
dy/dx
=
√(C₁y²
-
1)/y
或
-√(C₁y²
-
1)/y
y/√(C₁y²
-
1)•dy
=
dx
或
y/√(C₁y²
-
1)•dy
=
-
dx
1/(2C₁)•1/√(C₁y²
-
1)•d(C₁y²
-
1)
=
dx
或
1/(2C₁)•1/√(C₁y²
-
1)•d(C₁y²
-
1)
=
-
dx
√(C₁y²
-
1)/C₁
=
x
+
C
或
√(C₁y²
-
1)/C₁
=
-
x
+
C
C₂y²
=
(C₁x
+
C₁C)²
+
1
或
C₂y²
=
(C₁C
-
C₁x)²
+
1
解法二：
y³y''
=
1
d²y/dx²
=
1/y³
dy/dx•d²y/dx²
=
1/y³•dy/dx
∫
(dy/dx)•(dy/dx)'
dx
=
∫
1/y³
dy
∫
(dy/dx)
d(dy/dx)
=
∫
1/y³
dy，将左边的dy/dx当是一个整体，或者当是x好了，∫xdx=x²/2
(dy/dx)²/2
=
-1/(2y²)
+
C₁
(dy/dx)²
=
-1/y²
+
2C₁，方程y²
=
x有y
=
√x和y
=
-√x两种情况
dy/dx
=
√(-1/y²
+
C₂)
或
dy/dx
=
-√(-1/y²
+
C₂)，C₂
=
2C₁
dy/dx
=
√(C₂y²
-
1)/y
或
dy/dx
=
-√(C₂y²
-
1)/y
y/√(C₂y²
-
1)
dy
=
dx
或
y/√(C₂y²
-
1)
dy
=
-
dx，之后两边积分
1/[2√(C₂y²
-
1)]
d(y²)
=
dx
或
1/[2√(C₂y²
-
1)]
d(y²)
=
-
dx
1/[2C₂√(C₂y²
-
1)]
d(C₂y²
-
1)
=
dx
或
1/[2C₂√(C₂y²
-
1)]
d(C₂y²
-
1)
=
-
dx
1/(2C₂)•2√(C₂y²
-
1)
=
x
+
C
或
(1/2C₂)•√(C₂y²
-
1)
=
-
x
+
C
√(C₂y²
-
1)
=
C₂x
+
C₂C
或
√(C₂y²
-
1)
=
-
C₂x
+
C₂C
C₂y²
=
(C₂x
+
C₂C)²
+
1
或
C₂y²
=
(C₂C
-
C₂x)²
+
1
如果解出y，答案会有四组。
楼上那位仁兄也解得不错，只是漏了一个可能性。