191问答库 > 设f（x）在区间[0，1]上非负、连续，且满足f2（x）≤1+2∫ x 0f(t)dt，证明：对?x∈[0，1]，有f（x）≤1+

设f（x）在区间[0，1]上非负、连续，且满足f2（x）≤1+2∫ x 0f(t)dt，证明：对?x∈[0，1]，有f（x）≤1+

2025-03-10 23:07:28

推荐回答（1个）

回答1：

令F(x)＝
∫
f(t)dt，则F′（x）=f（x）≥0．
由已知条件f²（x）≤1+2
∫
f(t)dt　可得，
（F′（x））²≤1+2F（x），
从而，

F′(x)

1+2F(x)

≤1．①
不等式两边对x积分，可得：

1+2F(x)
?1≤x．②
综合①②可得：F′（x）≤

1+2F(x)
≤x+1，
即：f（x）≤1+x．