将2000表示成若干个至少两个连续非零自然数之和共有多少种表示方法，其中加数最多的有多少个？

1、2000=1×1998+2

=1×1996+2×2

=1×1995+2+3

=1×1994+2+4

=1+2+1997。（至此1997种）

2、2000=1+2×998+3

=1+2×996+3+4

=1+2×995+4+5

=1+2×994+3×2+5=1+2×994+5+6

=1+2+3+1994=1+2+4+1993=1+2+998+999

这一类有2+1+2+……+998=2+998×999/2=498503种。

自然数集N是指满足以下条件的集合：

①N中有一个元素，记作1。

②N中每一个元素都能在 N 中找到一个元素作为它的后继者。

③1是0的后继者。

④0不是任何元素的后继者。

⑤不同元素有不同的后继者。

⑥（归纳公理）N的任一子集M，如果1∈M，并且只要x在M中就能推出x的后继者也在M中，那么M=N。

1）2000=1×1998+2
=1×1996+2×2
=1×1995+2+3
=1×1994+2+4
=……
=1+2+1997。（至此1997种）
2）2000=1+2×998+3
=1+2×996+3+4
=1+2×995+4+5
=1+2×994+3×2+5=1+2×994+5+6
=……
=1+2+3+1994=1+2+4+1993=……=1+2+998+999。
这一类有2+1+2+……+998=2+998×999/2=498503种。
……
可见，难以一一枚举。
两个连续非零自然数之和从3,5，……到1999.剩下的从1997,1995，……到1.
在剩下的i中有i-1个间隔，从中取0,1，……，k,……，（i-1）个间隔，有
C(i-1,0),C(i-1,2),……，C(i-1,k),……，C(i-1,i-1)种取法，
这些组合数之和是2^(i-1),
所以将2000表示成若干个至少两个连续非零自然数之和约有
∑2^(1999-2j)种。（可能包含一些重复，例如1+2×996+3+4可能被计算3次）
其中加数最多的有1999个。