数学上有多少真正理解过0.999…等于1的证明

证明方法：
我们知道0.999...=1是目前数学界普遍认可的，那么它是怎么来的呢？首先有人不这么认为。他们认为可以根据运算、特别是微积分的重要极限的结果确定0.99…不等于1。
其实，还有一种简便易懂的证明方法：因1/3=0.333...,而依据等式的基本性质,1/3×3=0.333...×3,1/3×3=1,0.333...×3=0.999...。所以0.999...=1
最简单的“证明”
最简单的证明是这样的：1/3 = 0.333...，两边同时乘以 3，1 = 0.999... 。1998 年，弗雷德·里奇曼（Fred Richman）在《数学杂志》（Mathematics Magazine）上的文章《0.999... 等于 1 吗？》中说到：“这个证明之所以如此具有说服力，要得益于人们想当然地认为第一步是对的，因为第一步的等式从小就是这么教的。”大卫·托（David Tall）教授也从调查中发现，不少学生看了这个证明之后都会转而开始怀疑第一个等式的正确性。仔细想想你会发现，“1/3 等于 0.333…” 与 “1 等于 0.999…” 其实别无二致，它们同样令人难以接受。正如很多人会认为 “0.999… 只能越来越接近 1 而并不能精确地等于 1” 一样，“0.333… 无限接近但并不等于 1/3” 的争议依旧存在。问题并没有解决。
另一个充满争议的证明编辑
大卫·福斯特·华莱士（David Foster Wallace）在他的 《Everything and More》一书中介绍了另外一个著名的证明：
令 x = 0.999...
所以 10x = 9.999...
两式相减得 9x = 9
所以 x = 1
威廉·拜尔斯（William Byers）在《How Mathematicians Think》中评价这个证明：“0.999... 既可以代表把无限个分数加起来的过程，也可以代表这个过程的结果。许多学生仅仅把 0.999... 看作一个过程，但是 1 是一个数，过程怎么会等于一个数呢？这就是数学中的二义性⋯⋯他们并没有发现其实这个无限的过程可以理解成一个数。看了上面这个证明而相信等式成立的学生，可能还没有真正懂得无限小数的含义，更不用说理解这个等式的意义了。”
逐渐靠谱的证明：
等比级数具有这么一个性质：如果 |r|[1]
接下来，令a=9，r=1/10，则可以得到：
那么我们就又有了一个快速的证明：
这个证明最早出现在 1770 年大数学家欧拉（Leonhard Euler）的《代数的要素》（Elements of Algebra）中，不过当时他证明的是 10=9.999... 。
之后的数学课本中渐渐出现了更为形式化的极限证明：
1846 年，美国教科书《大学算术》（The University Arithmetic）里这么说：在 0.999... 里，每增加一个 9，它都离 1 更近。1895 年的另一本教科书《学校算术》（Arithmetic for School）则说：如果有非常多的 9，那么它和 1 就相差无几了。意外的是，这些“形象的说法”却适得其反，学生们常常以为 0.999... 本身其实是比 1 小的。
随着人们对实数更加深入的理解，0.999... = 1 有了一些更深刻的证明。1982 年，巴图（Robert. G. Bartle）和谢波特（D. R. Sherbert）在《实分析引论》（Introduction to Real Analysis）中给出了一个区间套的证明：给定一组区间套，则数轴上恰有一点包含在所有这些区间中；0.999... 对应于区间套[0, 1]、[0.9, 1]、[0.99, 1]、[0.999, 1] ... ，而所有这些区间的唯一交点就是 1，所以 0.999... = 1。
弗雷德·里奇曼的文章《0.999... 等于 1 吗？》里则用戴德金分割给出了一个证明：所有比 0.999... 小的有理数都比 1 小，而可以证明所有小于 1 的有理数总会在小数点后某处异于 0.999... （因而小于 0.999... ），这说明 0.999... 和 1 的戴德金分割是一模一样的集合，从而说明 0.999... = 1 。
格里菲思（H. B. Griffiths）和希尔顿（P. J. Hilton）在 1970 年出版的《A Comprehensive Textbook of Classical Mathematics: A Contemporary Interpretation》中，用柯西序列给出了另一个证明。
从未停止过的讨论：
尽管证明越来越完备，学生们的疑惑却从来没有因此减少。在品托（Pinto）和大卫·托教授的一份调查报告中写到，当学生们用高等方法证明了这个等式之后，会大吃一惊地说，这不对呀，0.999… 显然应该比 1 小呀。
在互联网上，这个等式的魅力也依然不减。辩论 0.999… 是否等于 1 被讨论组 sci.math 评为“最受欢迎的运动”，各类问答网站中也总是会有网友激烈的讨论。 诺贝尔奖获者费曼（Richard Feynman）也用这个等式开过一句玩笑。有一次他说到：“如果让我背圆周率，那我背到小数点后 762 位，然后就说 99999 等等等，就不背了。”这句话背后有一个很奇怪的笑点：从 π 的小数点后 762 位开始，出现了连续的 6 个 9，偏偏在这里来一个“等等等”，就会给人感觉好像后面全是 9，这相当于把 π 变成了一个有限小数。此后，π 的小数点后 762 位就被戏称为了费曼点（Feynman Point）。
教学问题：
0.999...=1，这历来是小学生不易接受的一个问题。每当讲到这个问题，老师总要一再强调0.999...就是等于1。然而事情过后，大部份小学生的思维又恢复原状：觉得0.999...=1是有问题的。小学生之所以难于接受0.999...=1这样一个正确的事实，是有其原因的。分析起来，原因主要有如下三个方面：
第一，先入为主的思想作梗。六年制小学数学课本第八册中，比较小数大小的方法是对有限小数而言的。由于当时没有出现无限小数，小学生不明确这个比较的适用范围，后来就随意地运用到无限小数的比较上来，所以误认为0.999...=0.9<1。
第二，小学生缺乏辩证思想。从有限到无限，会发生量变到质变这样的事情，对小学生们说，是很难理解的。因为他们根本就缺乏小学生哪能接受这样的极限思想！在小学生的眼光里，只能是：“在整数部分是零的情况下，小数点后面不管有多少个9，总还是比1小，而0.999...=1那是书上写的，老师讲的，要我们记的。”所以，0.999...=1小学生至多只能知其然，无法知其所以然。
第三，教材处理，教法运用上有问题，不能从教材和小学生这两个实际出发，来突破难点。以上三点原因，第一点可以向学生作补充说明，第二点无法向学生讲授；第三点则是可以做文章的。这正是写本文的动意。怎样从教材和小学生的实际出发来抓住关键，突破这个难点呢？我认为从逆向思维原则来考虑问题是可行的。既然按0.999...=1这个方向来处理学生很难接受，那么我们就反过来考虑，阐明1=0.999...就行了。

把0.999的循环设为a,那10a等于9.999的循环，所以10a—a等于9.999......—0.999......，说明9等于9a，那a就等于1