无理数是如何发现的？

毕达哥拉斯的弟子却发现正方形的边长与其对角线是不可公度的。即不论划分多小，都没有一个c可以均匀地分割正方形的边长和对角线。这就是第一个被发现的无理数√2。

建立在“任何两个量都是可公度”这一理论基础上的毕达哥拉斯学派数学大厦迅速崩坏，这一发现动摇了整数至高无上的地位，因为如果并非一切量都可公度，那么想要表示所有线段长度，光靠整数比就不够了。

他们处死了发现这个数的学生，但这抹杀不掉无理数的存在，越来越多的无理数被发现。

由于无理数的算术性质非常神秘，希腊人认为，最好完全回避采用数字的表达形式，而全神贯注于通过简明的几何体来表达量。就这样，开启了长达一千年的几何对算数绝对优势的希腊数学新篇章。

扩展资料

在公元前 6 世纪，受到毕达哥拉斯的影响，古希腊数学家们都认为，所有物理或几何的量都是一个整数或是整数的比值，称为“有理数”。

很快，他们意识到自己需要用到一些不同于有理数的数。  比如，我们可以用一个数与其自身相乘，得到它的平方；相反的运算可以得到平方根。但是，没有任何一个有理数是 2 的平方根；然而，边长为 1 的正方形的对角线正是这个值，记作 √2。

同样，为了用栅栏圈起一块 2 平方千米大的正方形场地，你要准确计算场地的周长，计算结果是 4√2 千米，这也是个无理数。一个直角边为 1 米和 2 米的直角三角形的斜边长为√5 米，这也是个无理数。( √5-1)/2 的值被用来定义最美的人体比例。

传统上，这是分割一段长度的最完美的比例，其定义方法是：较长部分与全长的比值等于较短部分与较长部分的比值——同样是个无理数。事实上，所有无理数与某一有理数进行加减乘除运算后得到的仍是无理数。

参考资料来源：百度百科-无理数

无理数是怎么发现的？这件事还要从公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派说起。

毕达哥拉斯学派的创始人是著名数学家毕达哥拉斯。他认为：“任何两条线段之比，都可以用两个整数的比来表示。”两个整数的比实际上包括了整数和分数。因此，毕达哥拉斯认为，世界上只存在整数和分数，除此以外，没有别的什么数了。

可是不久就出现了一个问题，当一个正方形的边长是1的时候，对角线的长m等于多少？是整数呢，还是分数？

根据勾股定理m2=12+12=2，m显然不是整数，因为12=1，22=4，而m2=2，所以m一定比1大，比2小。那么m一定是分数了。可是，毕达哥拉斯和他的门徒费了九牛二虎之力，也找不出这个分数。

边长为1的正方形，它的对角线m总该有个长度吧！如果m既不是整数，又不是分数，m究竟是个什么数呢？难道毕达哥拉斯错了，世界上除了整数和分数以外还有别的数？这个问题引起了毕达哥拉斯极大的苦恼。

毕达哥拉斯学派有个成员叫希伯斯，他对正方形对角线问题也很感兴趣，花费了很多时间去钻研这个问题。

毕达哥拉斯研究的是正方形的对角线和边长的比，而希伯斯却研究的是正五边形的对角线和边长的比。希伯斯发现当正五边形的边长为1时，对角线既不是整数也不是分数。希伯斯断言：正五边形的对角线和边长的比，是人们还没有认识的新数。

希伯斯的发现，推翻了毕达哥拉斯认为数只有整数和分数的理论，动摇了毕达哥拉斯学派的基础，引起了毕达哥拉斯学派的恐慌。为了维护毕达哥拉斯的威信，他们下令严密封锁希伯斯的发现，如果有人胆敢泄露出去，就处以极刑——活埋。

真理是封锁不住的。尽管毕达哥拉斯学派教规森严，希伯斯的发现还是被许多人知道了。他们追查泄密的人，追查的结果，发现泄密的不是别人，正是希伯斯本人！

这还了得！希伯斯竟背叛老师，背叛自己的学派。毕达哥拉斯学派按照教规，要活埋希伯斯，希伯斯听到风声逃跑了。

希伯斯在国外流浪了好几年，由于思念家乡，他偷偷地返回希腊。在地中海的一条海船上，毕达哥拉斯的忠实门徒发现了希伯斯：残忍地将希伯斯扔进地中海。无理数的发现人被谋杀了！

希伯斯虽然被害死了，但是无理数并没有随之而消灭。从希伯斯发现中，人们知道了除去整数和分数以外，还存在着一种新数，2就是这样的一个新数。给新发现的数起个什么名字呢？当时人们觉得，整数和分数是容易理解的，就把整数和分数合称“有理数”；而希伯斯发现的这种新数不好理解，就取名为“无理数”。

有理数和无理数有什么区别呢？

主要区别有两点：

第一，把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数或无限循环小数，比如4=4.0，0，45=8，13=0.333……而无理数只能写成无限不循环小数，比如2=1.4142……根据这一点，人们把无理数定义为无限不循环小数。

第二，所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数却不能写成两个整数之比。根据这一点，有人建议给无理数摘掉“无理”的帽子，把有理数改叫“比数”，把无理数改叫“非比数”。本来嘛，无理数并不是不讲道理，只是人们最初对它不太理解罢了，利用有理数和无理数的主要区别，可以证明2是无理数，使用的方法是反证法。

证明2是无理数。

证明：假设2不是无理数，而是有理数。

既然2是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式：

2=pq

又由于p和q有公因数可以约去，所以可以认为pq为既约分数。

把2=pq两边平方，得：2=p2q2

即2q2=p2

由于2q2是偶数，p必定为偶数，设p=2m

由2q2=4m2

得q2=2m2

同理q必然也为偶数，设q=2n。

既然p和q都是偶数，它们必有公因数2，这与前面假设pq是既约分数矛盾。这个矛盾是由假设2是有理数引起的。因此2不是有理数，而应该是无理数。

无理数可以用线段长度来表示。下面是在数轴上确定某些无理数位置的方法，其中2，3，5……都是无理数。具体做法是：

在数轴上，以原点O为一个顶点，以从O到1为边作一个正方形。根据勾股定理有：

OA2=12+12=2

OA=2

以O为圆心，OA为半径画弧与OX轴交于一点，该点的坐标为2，也就是说在数轴上找到了表示2的点；以2点引垂直于OX轴的直线，与正方形一边的延长线交于B，同理可得OB=3，可在数轴上同法得到3。还可以得到5，6，7，等等无理数点。

也可以用作直角三角形的方法，得到表示，2，3，5等无理数的发现。

有理数与无理数合称实数。初中阶段遇到的数都是实数。今后还要陆续学到许多无理数，如e，sin10，log10等等。

毕达哥拉斯多弟子却发现正方形的边长与其对角线是不可公度的。