瑞利面波

在一个弹性分界面上形成的反射波和折射波，从三维空间来说它们随着时间的增加向整个弹性空间的介质体积内传播，因此这些波又统称为体波，意指它传播时存在于整个空间体积内。相对于体波而言，在弹性分界面附近还存在着一类波动，从能量来说它们只分布在弹性分界面附近，因此统称为面波。其中分布在自由界面（地面）附近的面波由英国学者瑞利（Rayleigh）首先于1887年在理论上确定，称为瑞利面波。它在天然地震中产生时对地面建筑物破坏性极大，在中深层地震勘探中则作为“干扰”而经常出现，近来在浅层工程地震勘探中又对它加以利用而形成了一种称之为“面波勘探”的新方法。在深部二个弹性介质分界面附近还存在一种类似于瑞利面波的面波，称为斯通利（Stoneley）面波。它在地面观测不到，只在测井资料中出现。此外在近地表覆盖层中还可能出现一种称为勒夫（Love）面波的SH型波。它虽然称为面波，实际上并不是严格意义上的面波，只是一种导波，在目前实际工作中用途也不是很大。因此，本节主要研究瑞利面波及其传播特点。

为简便起见，只讨论在XZ平面内的二维问题。瑞利面波存在的物理模型是半无限弹性空间，空间内充满弹性常数为λ、μ密度为ρ的介质，其上为空气。令x轴与自由表面重合，z轴垂直自由表面向下。由于瑞利面波的能量只集中于自由表面附近且沿x轴方向传播，故预测它的解应该是沿x轴方向传播且振幅沿z轴方向迅速衰减的一种振动，位移位形式为

地震波场与地震勘探

式中：a、b、k、ε、是常数，且k＞0，ε＞0；f是频率，v_R是瑞利面波传播速度。

将解（1-4-24）式分别代入波动方程（1-2-10）式、（1-2-11）式中，可得到k，ε值分别为

地震波场与地震勘探

式中：

。以位移表示的自由边界条件是（1-4-14）式，将位移与位移位的关系

地震波场与地震勘探

代入（1-4-14）式，得到由位移位表示的自由边界条件

地震波场与地震勘探

将位移位（1-4-24）代入自由边界条件（1-4-27）式中，可得求解a、b的方程组：

地震波场与地震勘探

欲使方程组（1-4-28）式有非零解，需要其系数行列式为零，即

地震波场与地震勘探

将ξ_S、ξ_P的表达式代入，即可得到瑞利方程：

地震波场与地震勘探

平方，去根号，化简整理后得：

地震波场与地震勘探

这实际上是关于

的一元三次方程。如果面波存在，则v_R必须有大于零的实数根才有意义。分析（1-4-30）式可以看出，当v_R＝0时，

，因v_S＜v_P，故f（v_R）＜0；当v_R＝v_S时，f （v_R）＝1＞0。由此可见，在0＜v_R ＜v_S 间隔内至少有一个实数解，因此可以证明瑞利面波在自由表面总是可以存在的。

当介质为绝对刚体（不可压缩的固体）时，v_P➝∞，则（1-4-30）式变为

地震波场与地震勘探

解此三次方程，可求得一个实根

，其他二个均为复数根，无意义。因此在这种介质中面波速度v_R＝0.95v_S，说明面波传播得比横波还要慢。

瑞利方程（1-4-29）中没有周期、频率等参数，说明瑞利面波的速度与波的周期、频率等无关。这是在完全弹性半空间条件下的结果。在实际介质中，近地表处总会有一层疏松的覆盖层，它可能是近地表风化带。在这种条件下瑞利面波的速度与波的周期、频率等有关。近年来发展的面波勘探主要利用这一性质。

将位移位表达式（1-4-24）代入位移与位移位的关系式（1-4-26），可以得到瑞利面波的质点位移，考虑到（1-4-25）式和（1-4-28）式，并只取实数部分，可得：

地震波场与地震勘探

式中，A为任意常数，

地震波场与地震勘探

图1-4-9 瑞利面波的传播示意图

由此可见，瑞利面波的质点位移由x轴方向上的振动u和z轴方向上的振动w所组成，这两个方向的振动在相位上相差90°，而且它们的振幅大小也是不同的。由此得出结论：瑞利面波使介质质点沿椭圆轨道运动，因此它是在面上的椭圆极化波（图1-4-9）。

为了使问题有数量的概念，假设介质为特殊的泊松体，即λ＝μ，则

，由瑞利方程（1-4-30）可求出v_R≈0.92v_S，代入（1-4-32）式可得：

地震波场与地震勘探

分析上式可以看出，介质质点振动的振幅随深度z迅速地衰减，而且衰减系数与瑞利波波长λ_R成反比。因此，面波波长越大，波随离开自由表面的深度衰减得越慢，即面波在介质中穿透得越深。在面波勘探中，一般认为瑞雷波波长λ_R即为其穿透深度。

现以

为参数，按公式（1-4-34）计算位移u和w，其图形示于图1-4-10。

图1-4-10 瑞利面波质量点位移图

从图中可以看出，位移垂直分量w恒为正值，且在

附近有极大值，位移水平分量u在

为0.1～0.2之间其数值改变符号。因此，在地面附近z＝0处（u＝0.42，w＝0.62），从式（1-4-34）看出，由于u是正弦函数，w是余弦函数，且u和w同号，两者合成之后形成一个长轴垂直地面的、质点向逆时针方向转动的椭圆轨迹，椭圆的长短轴之比

，如图1-4-10所示。随深度z增加，位移水平分量u变号，质点向反方向作顺时针方向的椭圆运动，且由于w值总是大于u值，它仍是一个长轴垂直地面的椭圆，仅仅是幅度变小了。

可以同样地研究三维空间中瑞利面波的传播问题，其结论同二维空间是一样的。在三维空间中，由于面波的能量差不多只集中在大约等于一个波长λ_R 的范围内，因此瑞利面波从震源O出发传播时，其波前是一个高度为h＝λ_R 的圆柱面，如图1-4-11所示。如果震源的作用时间为ΔT，则与面波有关的振动将发生在厚度为

Δr＝v_RΔT

的圆柱层界限内，圆柱层外围为其波前，内周为波尾。该圆柱层的体积为

地震波场与地震勘探

图1-4-11 瑞利面波波前示意图

其中

是面波波前波尾中间圆的半径。由于震源的能量是一定的，所以能量密度随波的传播半径r增大而减少，其振幅将随

而衰减，这比体波按1/r的球面扩散的衰减要慢得多。这样，在远离震源处，面波有可能强于体波。这就是为什么在中深层地震勘探中把面波看成干扰而必须有效地消除其影响的原因之一，也是为什么在工程地震勘探中发展了面波勘探的原因之一。