创建与20世纪的主要数学分支有哪些

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基础数学：

数论：古典数论 解析数论，代数数论，超越数论, 模型式与模函数论
代数学：线性代数 群论, 群表示论, 李群, 李代数, 代数群, 典型群, 同调代数, 代数K理论, Kac-Moody代数, 环论, 代数, 体, 格, 序结构. 域论和多项式 拓扑群 矩阵论 向量代数 张量代数
几何学：（整体，局部）微分几何, 代数几何, 流形上的分析, 黎曼流形与洛仑兹流形, 齐性空间与对称空间, 调和映照, 子流形理论, 杨--米尔斯场与纤维丛理论, 辛流形. 凸几何与离散几何 欧氏几何 非欧几何 解析几何
拓扑学：微分拓扑, 代数拓扑, 低维流形, 同伦论, 奇点与突变理论, 点集拓扑. 流形和胞腔复形 大范围分析,微分拓扑 同调论复流形
函数论： 函数逼近论.
泛函分析：（非）线性泛函分析, 算子理论, 算子代数, 差分与泛函方程, 广义函数. 变分法，积分变换 积分方程
微分方程：泛函微分方程, 特征与谱理论及其反问题, 定性理论, 稳定性理论、分支理论,混沌理论, 奇摄动理论,动力系统, 常微分方程非线性椭圆(和抛物)方程,偏微分方程, 微局部分析与一般偏微分算子理论, 调混合型及其它带奇性的方程, 非线性发展方程和无穷维动力系统.
在泛函分析方面，包括象Kasparov在内的许多人的工作将连续的K-理论推广到非交换
的C*-代数情形．一个空间上的连续函数在函数乘积意义下形成一个交换代数．但是在其
他情形下，自然地产生了类似的关于非交换情形的讨论，这时，泛函分析也就自然而然地
成为了这些问题的温床．
因此，K-理论是另外一个能够将相当广泛的数学的许多不同方面都能用这种比较简单
的公式来处理的领域，尽管在每一个情形下，都有很多特定于该方面且能够连接其他部分
的非常困难的，技巧性很强的问题．K-理论不是一个统一的工具，它更象是一个统一的框
架，在不同部分之间具有类比和相似．
这个工作的许多内容已经被Alain Connes推广到“非交换微分几何”．
非常有趣的是，也就是在最近，Witten通过他在弦理论方面（基础物理学的最新思想
）的工作发现许多很有趣的方法都与K-理论有关，并且K-理论看起来为那些所谓的“守恒
量”提供了一个很自然的“家”．虽然在过去同调论被认为是这些理论的自然框架，但是
现在看起来K一理论能提供更好的答案．

我们从几何开始谈起：Euclid几何，平面的几何，空间的几何，直线的几何，所有这
一切都是线性的．而从非欧几何的各个不同阶段到Riemann的更一般的几何，所讨论的基
本上是非线性的．在微分方程中，真正关于非线性现象的研究已经处理了众多我们通过经
典方法所看不到的新现象．在这里我只举两个例子，孤立子和混沌，这是微分方程理论两
个非常不同的方面，在本世纪已经成为极度重要和非常著名的研究课题了．它们代表不同
的极端．孤立子代表非线性微分方程的无法预料的有组织的行为，而混沌代表的是无法预
料的无组织的行为(disorganized behavior)．这两者出现在不同领域，都是非常有趣和
重要的，但它们基本土都是非线性现象．我们同样可以将关于孤立子的某些工作的早期历
史追溯到十九世纪下叶，但那只是很少的一部分．
当然，在物理学，Maxwell方程（电磁学的基本方程）是线性偏微分方程．与之对应
的是著名的Yang-Mills方程，它们是非线性方程并被假定用来调控与物质结构有关的力．
这些方程之所以是非线性的，是因为Yang-Mills方程本质上是Maxwell方程的矩阵体现，
并且由矩阵不可交换这一事实导致方程中出现非线性项．于是在这里我们看到了一个非线
性性与非交换性之间的有趣的联系．非交换性产生一类特殊的非线性性，这的确是很有意
思和很重要的．
几何与代数
至此我谈的是一些一般性的主题，现在我想谈论一下数学中的一个二分叉现象，它来
回摇摆却始终伴随着我们，这就给了我一个机会来做一些哲学上的?#####骱退得鳎抑傅氖?
几何和代数之间的二分法，几何和代数是数学的两个形式支柱，并且都有悠久的历史．几
何学可以追溯到古希腊甚至更早的时期；代数学则源于古阿拉伯人和古印度人．所以，它
们都已经成为数学的基础，但它们之间有一种令人感到不太自然的关系．
让我首先由这个问题的历史开始．Euc1id几何是数学理论中最早的一个例子，直到D
escartes在我们现在称为的笛卡儿平面中引入代数坐标之前，它一直是纯几何的．Desca
rtes的做法是一种将几何思考化为代数运算的尝试．从代数学家们的角度来讲，这当然是
对几何学的一个重大突破或者说一次重大的冲击，如果我们来比较Newton和Leibniz在分
析方面的工作，我们会发现他们属于不同的传统，Newton基本上是一个几何学家而Le1bn
iz基本土是一个代数学家，这其中有着很深刻的道理．对于Newton而言，几何学，或者是
由他发展起来的微积分学，都是用来描述自然规律的数学尝试．他关心的是在很广泛意义
下的物理，以及几何世界中的物理．在他看来，如果有人想了解事物，他就得用物理世界
的观点来思?#####眉负瓮枷蟮墓鄣憷纯创彼⒄刮⒒值氖焙颍胍⒄沟氖?
微积分的一种能尽可能贴近隐藏在其后的物理内蕴的表现形式．所以他用的是几何论证，
因为这样可以与实际意义保持密切关系，另一方面，Leibniz有一个目标，一个雄心勃勃
的目标，那就是形式化整个数学，将之变成一个庞大的代数机器．这与Newton的途径截然
不同，并且二者有很多不同的记号．正如我们所知道的，在Newton和Leibniz之间的这场
大争论中，Leibniz的记号最后得胜．我们现在还沿用他的记号来写偏导数．Newton的精
神尚在，但被人们埋葬了很长时间．
在十九世纪末期，也就是一百年前，Poincaré和Hilbert是两个主要人物．我在前面
已经提到过他们了，并且可以粗略地讲，他们分别是Newton和Leibniz的传人．Poincaré
的思想更多的是几何和拓扑的精神，他用这些思想作为他的基本洞察工具．Hilbert更多
的是一个形式主义者，他要的是公理化，形式化，并且要给出严格的，形式的描述．虽然
任何一个伟大的数学家都不能轻易地被归到哪一类中去，但是，很清楚地，他们属于不同
的传统．
当准备这个报告的时候，我想我应该写下我们目前这一代中能够继承这些传统的具有
代表性的人的名字．谈论还健在的人是十分困难的——谁该放在这张名单上呢？接着我又
暗自思忖：有谁会介意被放在这么一张著名的名单的哪一边呢？于是我选择了两个名字A
rnold　Bourbaki，前者是Poincaré-Newton传统的继承人，而后者，我认为，是Hilber
t最著名的接班人．Arnold毫不含糊地认为：他的力学和物理的观点基本上是几何的，是
源自于Newton的；以为存在处于二者之间的东西，除了象Riemann（他确实跟两者都有偏
离）等少数人之外，都是一种误解．Bourbaki努力继续Hilbert的形式化的研究，将数学
公理化和形式化推向了一个令人瞩目的范围并取得了一些成功．每一种观点都有它的优点
，但是它们之间很难调和．
让我来解释一下我自己是如何看待几何和代数之间的不同．几何学当然讲的是空间，
这是毫无疑问的．如果我面对这间房间里的听众，我可以在一秒中内或者是一微秒内看到
很多，接收到大量的信息，当然这不是一件偶然的事件．我们大脑的构造与视觉有着极其
重要的关系．我从一些从事神经生理学的朋友那里了解到，视觉占用了大脑皮层的百分之
八十或九十．在大脑中大约有十七个中枢，每一个中枢专门用来负责视觉活动的不同部分
：有些部分涉及的是垂直方向的，有些部分与水平方向有关，有些部分是关于色彩和透视
的，最后有些部分涉及的是所见事物的具体含义和解说．理解并感知我们所看到的这个世
界是我们人类发展进化的一个非常重要的部分．因此空间直觉(spatial intuition)或者
空间知觉(spatial perception)是一种非常强有力的工具，也是几何学在数学上占有如此
重要位置的原因，它不仅仅对那些明显具有几何性质的事物可以使用，甚至对那些没有明
显几何性质的事物也可以使用．我们努力将它们归结为几何形式，因为这样可以让我们使
用我们的直觉．我们的直觉是我们最有力的武器．特别是在向学生或是同事讲解一种数学
时可以看得很清楚．当你讲解一个很长而且很有难度的论证，最后使学生明白了．学生这
时会说些什么呢？他会说“我看到了（我懂了）！”在这里看见与理解是同义词，而且我
们还可以用“知觉”这个词来同时形容它们，至少这在英语里是对的，把这个现象与其他
语言作对比同样有趣．我认为有一点是很基本的：人类通过这种巨大的能力和视觉的瞬间
活动获取大量的信息，从而得以发展，而教学参与其中并使之完善．
在另一方面（也许有些人不这样认为），代数本质上涉及的是时间．无论现在做的是
哪一类代数，都是一连串的运算被一个接着一个罗列出来，这里“一个接着一个”的意思
是我们必须有时间的概念．在一个静态的宇宙中，我们无法想象代数，但几何的本质是静
态的：我可以坐在这里观察，没有什么变化，但我仍可以继续观察．然而,代数与时间有
关，这是因为我们有一连串的运算，这里当我谈到“代数”时，我并不单单指现代代数．
任何算法，任何计算过程，都是一个接着一个地给出一连串步骤,现代计算机的发展使这
一切看得很清楚．现代计算机用一系列0和1来反映其信息并由此给出问题的答案．
代数涉及的是时间的操作，而几何涉及的是空间．它们是世界互相垂直的两个方面，
并且它们代表数学中两种不同的观念．因此在过去数学家们之间关于代数和几何相对重要
性的争论或者对话代表了某些非常非常基本的事情．
当然只是为了论证是哪一边输了，哪一边胜利了，这并不值得．当我考虑这个问题时
，有一个形象的类比：“你愿意成为一个代数学家还是一个几何学家？”这个问题就象问
：“你愿意是聋子还是瞎子？”一样．如果人的眼睛盲了，就看不见空间；如果人的耳朵
聋了，就无法听见，听觉是发生在时间之中的，总的来说，我们还是宁愿二者都要．
在物理学，也有一个类似的、大致平行的关于物理概念和物理实验之间的划分．物理
学有两个部分：理论——概念，想法，单词，定律——和实验仪器．我认为概念在某种广
义的意义下是几何的，这是因为它们涉及的是发生在真实世界的事物．另一方面，实验更
象一个代数计算．人们做事情总要花时间，测定一些数，将它们代入到公式中去．但是在
实验背后的基本概念却是几何传统的一部分．
将上述二分叉现象用更哲学或者更文学的语言来说，那就是对几何学家而言，代数就
是所谓的“浮士德的奉献”．正如大家所知道的，在歌德的故事里，浮士德通过魔鬼可以
得到他所想要的（就是一个漂亮女人的爱），其代价是出卖他的灵魂，代数就是由魔鬼提
供给数学家的供品．魔鬼会说：“我将给你这个有力的机器，它可以回答你的任何问题．
你需要做的就是把你的灵魂给我：放弃几何，你就会拥有这个威力无穷的机器”(现在可
以把它想象成为一台计算机!)．当然我们希望同时拥有它们，我们也许可以欺骗魔鬼，假
装我们出卖灵魂，但不真地给它．不过对我们灵魂的威胁依然存在，这是因为当我们转入
代数计算时，本质上我们会停止思考，停止用几何的观念来考虑问题，不再思考其含义．
在这里我谈论代数学家的话重了一些，但是基本土，代数的目标总是想建立一个公式
，把它放到一个机器中去，转动一下把手就可以得到答案．也就是拿来一个有意义的东西
，把它化成一个公式，然后得到答案．在这样的一个过程中，人们不再需要思考代数的这
些不同阶段对应的几何是什么．就这样，洞察力丢掉了，而这在那些不同的阶段都是非常
重要的．我们绝不能放弃这些洞察力！最终我们还是要回到这上面来的，这就是我所谈到
的浮士德的奉献．我肯定这种讲法尖锐了一点．
几何和代数的这种选择导致能融合二者的一些交叉课题的产生，并且代数和几何之间
的区别也不象我讲的那样直截了当和朴实无华．例如，代数学家们经常使用图式(diagra
m)．而除了几何直觉，图式又能是什么呢？
通用的技术
现在我不想再谈论太多就内容来划分的主题，而想谈谈那些依照已经使用的技术和常
见方法所确定的主题，也就是我想描述一些已经广泛应用于众多领域的常见方法．第一个
就是：
同调论
历史上同调论是作为拓扑学的一个分支而发展起来的．它涉及到以下情形．现有一个
复杂的拓扑空间，我们想从中得到它的一些简单信息如计算它的洞或者类似事物的个数,
得到某些与之联系的可加的线性不变量等．这是一种在非线性条件下关干线性不变量的构
造．从几何的角度来看，闭链可加可减，这样就得到了所谓的一个空间的同调群．同调论
，作为一种从拓扑空间获取某些信息的基本代数工具，是在本世纪上半叶发现的．这是一
种从几何中获益匪浅的代数．
同调概念也出现在其他一些方面．其另一个源头可以追溯到Hilbert及其关于多项式
的研究中，多项式是非线性的函数，它们相乘可以得到更高次数的多项式．正是Hilbert
那伟大的洞察力促使他来讨论“理想”，具有公共零点的多项式的线性组合．他要寻找这
些理想的生成元．生成元可能有很多．他审视它们之间的关系以及关系之间的关系．于是
他得到这些关系的一个分层谱系，这就是所谓的“Hilbert合系”．Hilbert的这个理论是
一种非常复杂的方法，他试图将一个非线性的情形（多项式的研究）化为线性情形．本质
上来讲，Hilbert构造了一个线性关系的复杂体系．能够把象多项式这样的非线性事物的
某些信息纳入其中．

在拓扑学方面，Hirzebruch和我照搬了这些思想并且将它们应用到一个纯粹的拓扑范
畴内．从某种意义下来说，如果Grothendieck的工作与Hilbert在合系方面的工作有关，
那么我们的工作更接近于Riemann-Poincaré在同调方面的工作，我们用的是连续函数，
而他用的是多项式．K-理论也在椭圆算子的指标理论和线性分析的研究中起了重要作用．
从另外一个不同的角度，Milnor，Quillen和其他人发展了K-理论的代数方面，这在
数论的研究中有着潜力巨大的应用．沿着这个方向的发展导致了许多有趣问题的产生．