非线性振动的解法

常用的是相平面法。将二阶自治系统的运动微分方程写作：式中P(x,y）、Q(x,y）是实解析函数。从方程中消去变量t，得：把x、y看作平面内一点的直角坐标，这个平面称为相平面，点（x,y）称为相点。相点描述系统在某一瞬时的运动状态。对应于系统的任一特定的运动x=x(t),y=y(t），相平面上皆有一条确定的曲线，称为相轨。相轨描述系统的整个运动状态。在相平面上，凡是P(x,y）、Q(x,y）同时为零的点都称为奇点。在动力学问题中，奇点对应于系统的平衡状态。一个奇点，若从它的邻域内出发的积分曲线都向它趋近，或者始终逗留在它的邻域内，称为稳定奇点；否则称为不稳定奇点。
二阶自治系统的相轨中有一类孤立的闭轨具有特殊重要意义，这类闭轨称为极限环。从它一侧邻域内任一点出发的相轨，或者都趋近它，或者都离开它。一个极限环，若内外两侧邻域内的相轨都向它趋近，就是稳定的；否则就是不稳定的。稳定的极限环对应于物理系统中的自振。极限环和保守系统自由振动的闭轨的根本区别为：极限环是孤立的，即在它的邻域内不存在其他闭轨；极限环所对应的周期振动不依赖于系统的初始条件。 定量法较为常用的是平均法。考察单自由度非线性自治系统：
将式(2)对t求导，得：
式(4)与式(3)相比，得：
式(3)对t求导，则有：
将式(6)代入式(1),得：
由式(5>和式(7)，可解得：
作为例子，考察瑞利方程：
从式（10）可解得的定常解：
前者对应于
相平面上的不稳定奇点，即对应于系统不稳 定的平衡状态；后者对应于

相平面上稳定的极限环，即对应于系统稳定的自激振动。