求微分方程y″-y=sin2x的通解

2025-02-25 20:19:16

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回答1：

特征方程 t² - 1＝0，根 t＝±1，
齐次方程通解 y＝C1e^(-x)＋C2e^x，
设特解 y＝asin2x，代入得
-4asin2x - asin2x＝sin2x，
所以 a＝ - 1/5，
因此方程通解为：
y＝C1e^(-x)＋C2e^x - 1/5 * sin2x。

回答2：

y″-y=0的通解是y=c1e^x+c2e^(-x).
设y=acos2x+bsin2x是y″-y=sin2x①的解，则
y'=-2asin2x+2bcos2x,
y''=-4acos2x-4bsin2x,
代入①，-5acos2x-5bsin2x=sin2x,
比较系数得-5a=0,-5b=1,
解得a=0,b=-1/5,
所以所求通解是y=c1e^x+c2e^(-x)-(1/5)sin2x.