高中数学常用巧解公式？有哪些？

一、代入法
若动点依赖于另一动点而运动，而点的轨迹方程已知（也可能易于求得）且可建立关系式，，于是将这个点的坐标表达式代入已知（或求得）曲线的方程，化简后即得点的轨迹方程，这种方法称为代入法，又称转移法或相关点法。
【例1】（2009年高考广东卷）已知曲线：与直线：交于两点和，且，记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D.设点是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合.若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程；
【巧解】联立与得，则中点，
设线段 的中点坐标为，则，
即，又点在曲线上，
∴化简可得，又点是上的任一点，
且不与点和点重合，则，即，
∴中点的轨迹方程为（）.
【例2】（2008年，江西卷）设 在直线上，过点作双曲线的两条切线、，切点为、，定点M。 过点A作直线的垂线，垂足为N，试求的重心G所在的曲线方程。
【巧解】设，由已知得到，且，，（1）垂线的方程为：，
由得垂足，设重心
所以 解得
由 可得
即为重心所在曲线方程
巧练一：（2005年，江西卷）如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.，求△APB的重心G的轨迹方程.

巧练二：（2006年，全国I卷）在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量，求点M的轨迹方程

二、直接法
直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，从而确定选择支的方法叫直接法。从近几年全国各地的高考数学试题来看，绝大大部分选择题的解答用的是此法。但解题时也要“盯住选项特点”灵活做题，一边计算，一边对选项进行分析、验证，或在选项中取值带入题设计算，验证、筛选而迅速确定答案。
【例1】（2009年高考全国II卷）已知双曲线的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A、B两点。若，则C的离心率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【巧解】设，，，由，得
∴，设过点斜率为的直线方程为，
由消去得：，
∴ ， 将 代入得化简得
，∴，
化简得：，∴，，即。
故本题选（A）
【例2】（2008年，四川卷）设定义在上的函数满足，若
，则（ ）
（A）13 （B）2 （C） （D）
【巧解】∵，∴
∴函数为周期函数，且，∴
故选（C）

巧练一：（2008年，湖北卷）若上是减函数，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
巧练二：（2008年，湖南卷）长方体ABCD—A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=AA1=1，则顶点A、B间的球面距离是（ ）

A． B． C． D．

三、定义法
所谓定义法，就是直接用数学定义解题。选择题的命题侧重于对圆锥曲线定义的考查，凡题目中涉及焦半径、通径、准线、离心率及离心率的取值范围等问题，用圆锥曲线的第一和第二定义解题，是一种重要的解题策略。
【例1】（2009年高考福建卷，理13）过抛物线的焦点F作倾斜角为450的直线交抛物线于A、B两点，线段AB的长为8，则 ．
【巧解】依题意直线的方程为，由消去得：
，设，，∴，根据抛物线的定义。
，，∴，∴，
故本题应填2。
【例2】（2008年，山东卷，理10）设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26. 若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【巧解】由题意椭圆的半焦距为，双曲线上的点满足　∴点的轨迹是双曲线，其中，，∴，故双曲线方程为，∴选（A）

巧练一：（2008年，陕西卷）双曲线的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
巧练二：（2008年，辽宁卷）已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）
（A） （B）3 （C） （D）

四、向量坐标法
向量坐标法是一种重要的数学思想方法，通过坐标化，把长度之间的关系转化成坐标之间的关系，使问题易于解决，并从一定程度上揭示了问题的数学本质。在解题实践中若能做到多用、巧用和活用，则可源源不断地开发出自己的解题智慧，必能收到事半功倍的效果。
【例1】（2008年，广东卷）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F. 若=a，=b，则=（ ）
A．a +b B．a +b C．a +b D．a +b
【巧解】如图所示，选取边长为2的正方形
则，，，，，
∴直线的方程为，联立得
∴，设，则
∴解之得，，∴，故本题选B
【例2】已知点为内一点，且0，则、、的面积之比等于 （ ）
A．9：4：1 B．1：4：9 C．3：2：1 D．1：2：3
【巧解】不妨设为等腰三角形，
，建立如图所示的直角坐标系，则点
，，设，
∵0，即
∴解之得，，即，又直线的方程为，则点到直线的距离，∵，因此，，，故选C
巧练一：（2008年，湖南卷）设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且（ ）
A．反向平行 B．同向平行 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直
巧练二：设是内部一点，且，则与面积之比是 .