已知：如图，P是∠AOB平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别为C,D，求证：

1、证明：在△OCP与△ODP中

∵OP=OP,∠COP=∠DOP,∠PCO=∠PDO=90°

∴△OCP≌△ODP

∴OC=OD

2、设CD交OP于E点

则在△COE与△DOE中

∵OC=OD，∠COP=∠DOP，OE=OE

∴△COE≌△DOE

∴CE=DE ，∠CEO=∠DEO

又∵∠CEO+∠DEO=180°

∴∠CEO=∠DEO =90°

∵∠CEO=∠DEO =90°,CE=DE

∴OP是CD的垂直平分线

扩展资料

经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，又称“中垂线”。垂直平分线可以看成到线段两个端点距离相等的点的集合，垂直平分线是线段的一条对称轴。

它是初中几何学科中非常重要的一部分内容。垂直平分线将一条线段从中间分成左右相等的两条线段，并且与所分的线段垂直(成90°角)。

证明：

（1）

∵P是∠AOB平分线上的一点,

PC⊥OA,PD⊥OB

∴∠POC=∠POD

∵PO=PO

∴△PCO≌△PDO(AAS)

∴OC=OD

∠CPO=∠DPO

PC=PD

(2)

∵∠CPO=∠DPO

PC=PD

∴△PCD是等腰三角形

∴PO⊥CD，PO平分CD（等腰三角形三线合一）

∴OP是CD的垂直平分线

如果您认可我的回答，请点击“采纳为满意答案”,祝学习进步！