191问答库 > 已知等差数列{a n }的各项均为正数，a 1 =3，前n项和为S n ，{b n }为等比数列，公比q=2，且a 2 b 2 =20

已知等差数列{a n }的各项均为正数，a 1 =3，前n项和为S n ，{b n }为等比数列，公比q=2，且a 2 b 2 =20

2025-04-04 16:33:26

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回答1：

（1）设{a_n }的公差为d，则

(3+d)?2 b 1 =20

(3+2d)?4 b 1 =56

，解之得b₁ =d=2
∴数列{a_n }的通项为a_n =3+2（n-1）=2n+1；数列{b_n }的通项为b_n =2ⁿ
（2）由（1）得a_n b_n =（2n+1）2ⁿ
∴T_n =3×2+5×2² +7×2³ +…+（2n+1）2ⁿ
两边都乘以2，得2T_n =3×2² +5×2³ +7×2⁴ +…+（2n+1）2ⁿ⁺¹ ，
两式相减，得
-T_n =6+2（2² +2³ +…+2ⁿ ）-（2n+1）2ⁿ⁺¹ ，
=6+

8(1- 2 n-1 )

1-2

-（2n+1）2ⁿ⁺¹ =-2+（1-2n）2ⁿ⁺¹ ，
∴T_n =（2n+1）2ⁿ⁺¹ +2
（3）S_n =3n+

n(n-1)

×2=n² +2n
∴C_n =

S n -n

n 2 +n

n+1

由此可得C₁ +C₂ +C₃ +…+C_n =（1-

）+（

）+…+（

n+1

）=1-

n+1

因此，当n=1时，C₁ +C₂ +C₃ +…+C_n 的最小值为

∵不等式C₁ +C₂ +C₃ +…+C_n ≥m² -

对任意正整数n恒成立，
∴

≥m² -

，解之得-

≤m≤

，即实数m的取值范围是[-

，

]．