流体力学中圆管内湍流流动速度的分布中 普兰特方程是如何定义的 具体表达式是什么？

流体力学里普兰特方程的定义：

流体力学中圆管内湍流流动速度的分布指的是湍流边界层，湍流边界层理论上看大致分三层，viscous sublayer， buffer layer, inertial sublayer，但是文献中，对于各个层的命名是各种各样。

普兰特方程具体表达方式：

以下图给出了湍流边界层各个部分的各种命名。

假设知道turbulent pipe flow的速度profile（plug flow），也知道靠近壁面会有边界层，边界层速度较核心区低，那么上图就是边界层内速度分布，坐标使用的是壁面坐标。壁面坐标的解释，基本上每一个湍流课本里都有，这里推荐‘convection heat transfer’ 第七章的推导部分，简单易懂。
那么Prandtl 是开始湍流边界层工作的先驱，主要贡献是给出了viscous sublayer 和 inertial sublayer的方程，将Y+=11.6作为分界，内部是viscous sublayer （图中蓝色细点画线），外部是inertial sublayer（图中细黄色虚线）。

一般来说，prandtl 的二弟子von karman（冯卡门）的表达更好，也是一般湍流边界层的通用标准，给出了viscous sublayer， buffer layer, inertial sublayer 三层描述。Spalding（K-E 的发明人）的描述更加适合在CFD中使用，因为只有一个方程，统一了所有的Y+范围。

Pope的那本书上有这个公式