齐次线性方程中基础解系的向量个数为什么为n-r

注意基础解系的秩和系数矩阵的秩是两个概念，你的问题就是把这两者搞混了。
两者有一定关系：两者的和是未知数的维数。
这里就不给出严格证明了，如何理解，我简单地说一下：回顾一下基础解系是如何得来的？即把系数矩阵对角化以后，相关行向量对应的未知数为自由变量，令自由变量为不相关的向量时得到基础解。所以有几个自由变量，就可以得到几个基础解。而自由变量个数就是未知数的维数减去系数矩阵的秩。
举例：以lz提到的ax=0，因为化简后为（1
2
0；0
2
3；0
0
0），即rank(a)=2，所以看第三行也就是x3不受影响，可以作为自由变量，给出一个赋值后得到了唯一的基础解。所以基础解系中线性无关的向量个数就是3-2=1.也就是解空间的维数为1.
同样对于n阶的如果rank(a)=m,则解空间维数就是n-m

这是我找到的最好理解的回答了(比那些复制粘贴还答非所问的好太多):
系数矩阵的秩是r,说明最少有效方程的个数就是r个,于是自由变量的个数就是n-r

比如，1个2元方程，其解是一个变量用另一个变量来表示；

2个5元方程，其结果是其中两个未知数，用另外的三个来表示；

自由未知数的个数，决定了方程组解空间的维数（或者说成基础解系所含向量的个数），因此系数矩阵的秩为r时，导出组的基础解系，所含向量的个数就是n-r

齐次线性方程组Ax=0求基础解系的过程，就是证明基础解系线性无关，且秩=n-r(A)的过程；

而Ax=0的解空间的解向量，可由基础解系线性表示，所以基础解系是解空间的极大无关组，所以解空间的秩=n-r(A)。