x²的高阶导数,0阶是x²,一阶是2x,二阶是2,三阶以上均是0
代入x=0 后可知除2阶以外 其他阶导数在0处的值均为0
所以 f在0处的n阶导数=C(n,2)乘2 再乘 【ln(1+x)的(n-2)阶导数在0处的值】
对 ln(1+x) ,一阶导数1/(1+x),二阶导数 -1/(1+x)平方 三阶导数 2/(1+x)立方
四阶导数 -6/(1+x)四次方 五阶导数 24/(1+x)的五次方
依次递推 可得到 ln(1+x) 的 n-2 阶导数 为
(-1)的(n-3)次方 乘以 (n-3)! 除以 (1+x)的n-2次方 ,
代入x=0 可得到
ln(1+x) 的 n-2 阶导数在0处的取值为 (-1)的(n-3)次方 乘以 (n-3)!
最后 f在0处的n阶导数=C(n,2)乘2 再乘 (-1)的(n-3)次方 乘以 (n-3)!
=(-1)的(n-3)次方 n!除以 (n-2)! 乘以 (n-3)!
=(-1)的(n-3)次方 n!除以 (n-2)
如图所示: