求曲面在指定点的切平面方程和法线方程 z=y+lnx⼀y, M(1,1,1)

令F（x，y，z）=z-y-lnx+lny

分别对x,y,z求偏导

Fx=-1/x

Fy=-1+1/y

Fz=1

将M（1，1，1）

分别代入得法向量（-1，0，1）

用点法式A(X-1)+B(Y-1)+C(Z-1)=0就能直接写出该切平面的方程了！(A,B,C)就是你求出来的法向量

代入得z-x=0

法线方程：（x-1）/（-1）=(z-1)/(1)

类型

一、截距式

设平面方程为Ax+By+Cz+D=0,若D不等于0，取a=-D/A,b=-D/B,c=-D/C,则得平面的截距式方程：x/a+y/b+z/c=1。

它与三坐标轴的交点分别为P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)，其中，a,b,c依次称为该平面在x,y,z轴上的截距。

二、点法式

n为平面的法向量，n=(A,B,C),M,M'为平面上任意两点，则有n·MM'=0, MM'=(x-x0,y-y0,z-z0)，从而得平面的点法式方程：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0。

三点求平面可以取向量积为法线。

任一三元一次方程的图形总是一个平面，其中x,y,z的系数就是该平面的一个法向量的坐标。

两平面互相垂直相当于A1A2+B1B2+C1C2=0。

两平面平行或重合相当于A1/A2=B1/B2=C1/C2。

点到平面的距离=abs(Ax0+By0+Cz0+D)/sqrt(A^2+B^2+C^2) 求解过程:面内外两点连线在法向量上的映射Prj(小n)(带箭头P1P0)=数量积。

令F（x，y，z）=z-y-lnx+lny
分别对x,y,z求偏导
Fx=-1/x
Fy=-1+1/y
Fz=1
将M（1，1，1）
分别代入得法向量（-1，0，1）
用点法式A(X-1)+B(Y-1)+C(Z-1)=0就能直接写出该切平面的方程了！(A,B,C)就是你求出来的法向量
代入得z-x=0
法线方程：（x-1）/（-1）=(z-1)/(1)
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