未成年人的父母没有监护能力的，由祖父母、外祖父母监护，也可以由当地民政部门监护。
《民法通则 》第十六条 未成年人的父母是未成年人的监护人。
未成年人的父母已经死亡或者没有监护能力的，由下列人员中有监护能力的人担任监护人：
（一）祖父母、外祖父母；
（二）兄、姐；
（三）关系密切的其他亲属、朋友愿意承担监护责任，经未成年人的父、母的所在单位或者未成年人住所地的居民委员会、村民委员会同意的。
对担任监护人有争议的，由未成年人的父、母的所在单位或者未成年人住所地的居民委员会、村民委员会在近亲属中指定。对指定不服提起诉讼的，由人民法院裁决。
没有第一款、第二款规定的监护人的，由未成年人的父、母的所在单位或者未成年人住所地的居民委员会、村民委员会或者民政部门担任监护人。
父亲坐牢，按照法律规定，母亲就是唯一合法的第一顺序监护人，母亲改嫁，也不是放弃抚养孩子的理由，孩子理应由母亲抚养，如果因某种原因，母亲放弃抚养权利，则必须支付抚养费，否则，就涉嫌遗弃，可以上诉法院解决。
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