求微分方程y✀✀+y=x+sin2x的通解

解：∵微分方程为y"+y=x+sin2x，化为
y"sinx+y'cosx-y'cosx+ysinx=
xsinx+2sin²xcosx
∴有(y'sinx)'-(ycosx)'=xsinx+
2sin²xcosx，y'sinx-ycosx=
2sin³x/3+sinx-xcosx+a
(a为任意常数)，
y'/sinx-ycosx/sin²x=2sinx/3+1/sinx
-xcosx/sin²x+a/sin²x，
y/sinx=x/sinx-2cosx/3-acosx/sinx+ c(c为任意常数)
∴方程的通解为y=x-sin2x/3-acosx+
csinx

原方程的通解=齐次方程的通解＋(y''＋y=x)的特解＋(y''＋y=sin2x)的特解
齐次方程的特征方程为r²＋1=0
r=±i，所以齐次方程的通解为y=C1cosx＋C2sinx
y''＋y=x，具有形如y=ax＋b的特解，
则0＋ax＋b=x
a=1，b=0
特解为y=x
y''＋y=sin2x，由于α＋βi=2i，不是特征方程的根，所以具有形如y=c cos2x＋dsin2x的特解
y''=－4ccos2x－4dsin2x
y''＋y=－3c cos2x－3dsin2x=sin2x
所以c=0，d=－1/3
特解为y=－1/3 sin2x
所以原方程通解为y=C1cosx＋C2sinx＋x－1/3 sin2x