知道矩阵的特征值和特征向量怎么求矩阵

由于A α1=λ1 α1,A α2=λ2 α2,
所以A [α1 α2]=[α1 α2] diag(λ1 λ2)，其中[α1 α2]为由两个特征向量作为列的矩阵，diag(λ1 λ2)为由于特征值作为对角元的对角矩阵。
记P=[α1 α2], Λ=diag(λ1 λ2),则有：AP=PΛ,所以A=PΛP-1,从而A-1=(PΛP-1)-1=PΛ-1P-1.
上面的题目中P=[1 1; 1 -1](第一行为1 1，第二行为1 -1），Λ-1=diag(1/3, -1),带入计算即可。

例：已知矩阵A，有特征值λ1及其对应一个特征向量α1，特征值λ2及其对应一个特征向量α2，求矩阵A。

∵　Aα1=λ1α1,Aα2=λ2α2

∴ A[α1 α2]=[α1 α2] diag(λ1 λ2)，其中矩阵[α1 α2]为由两个特征向量作为列的矩阵，diag(λ1 λ2)为由于特征值作为对角元的对角矩阵。

记矩阵P=[α1 α2]，矩阵Λ=diag(λ1 λ2)，则有：AP=PΛ

∴  A=PΛP逆

将P，Λ带入计算即可。

注：数学符号右上角标打不出来（像P的－1次方那样），就用“P逆”表示了，希望能帮到您