梅涅劳斯定理的定理证明

过点A作AG∥DF交BC的延长线于点G.则

证毕 过点C作CP∥DF交AB于P，则

两式相乘得
连结CF、AD，根据“两个三角形等高时面积之比等于底边之比”的性质有。
AF：FB =S△ADF：S△BDF…………（1），
BD：DC=S△BDF：S△CDF…………（2），
CE：EA=S△CDE：S△ADE=S△FEC：S△FEA=（S△CDE+S△FEC
）：（S△ADE+S△FEA）
=S△CDF：S△ADF………… （3）
（1）×（2）×（3）得
× × = × ×
过三顶点作直线DEF的垂线AA‘，BB'，CC'，如图：
充分性证明：
△ABC中，BC，CA，AB上的分点分别为D，E，F。
连接DF交CA于E'，则由充分性可得，(AF/FB)×(BD/DC)×(CE'/E'A)=1
又∵
∴有CE/EA=CE'/E'A，两点重合。所以 共线
推论 在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是λμν=-1。（注意与塞瓦定理相区分，那里是λμν=1）
此外，用该定理可使其容易理解和记忆：
第一角元形式的梅涅劳斯定理如图：若E，F，D三点共线，则
(sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBE/sin∠ABE)=1
即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积。
该形式的梅涅劳斯定理也很实用。
证明：可用面积法推出：第一角元形式的梅氏定理与顶分顶形式的梅氏定理等价。
第二角元形式的梅涅劳斯定理
在平面上任取一点O，且EDF共线，则（sin∠AOF/sin∠FOB)(sin∠BOD/sin∠DOC)(sin∠COE
/sin∠AOE)=1。(O不与点A、B、C重合)
梅涅劳斯球面三角形定理
在球面三角形ABC中，三边弧AB，弧BC，弧CA(都是大圆弧)被另一大圆弧截于P,Q,R三点，那么