高中数学 设直线y＝t与曲线C：y＝x（x-3）눀

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已知直线X一9y一8＝0与曲线C：y＝X3一PX2十3X相交于A，B，且曲线C在A，B处的切线平行，求实数P的值；

解：对曲线C取导数得：y'=3x2-2px+3；
设A(x?，y?)；B(x?，y?)；因为过A、B的切线平行，故 y'(x?)=y'(x?);
即 3x?2-2px?+3=3x?2-2px?+3，于是得 3(x?2-x?2)-2p(x?-x?)=(x?-x?)[3(x?+x?)-2p]=0
因为A、B是不同的两点，故x?≠x?，于是得 3(x?+x?)-2p=0；即x?+x?=(2/3)p...........(1)
由韦达定理的逆定理可知 x?、x?是方程 3x2-2px+3=0的根，∴ x?x?=1............(2);

将直线方程y=(1/9)(x-8)代入曲线C的方程得：
(1/9)(x-8)=x3-px2+3x
即有x-8=9x3-9px2+27x
9x3-9px2+26x+8=0
9x?3-9px?2+26x?+8=0.............(2)
9x?3-9px?2+26x?+8=0.............(3)
(2)-(3)得9(x?3-x?3)-9p(x?2-x?2)+26(x?-x?)=(x?-x?)[9(x?2+x?x?+x?2)-9p(x?+x?)+26]=0
于是得9(x?2+x?x?+x?2)-9p(x?+x?)+26=9[(x?+x?)2-x?x?]-9p(x?+x?)+26=0
将(1)(2)代入并化简即得：p2=17/2；故p=±√(17/2)=±(1/2)√34.

设点P的坐标为（x1,y1）,点Q的坐标为（x2,y2）
由已知得X1-y1-1=0,（x1-3）²+（y1-4）²=2,解得P的坐标为（4,3）.又√【（x2-4）²+（y2-3）²】=2,（两点间距公式）,且（x2-3）²+（y2-4）²=2,解得Q的坐标为（2,3）或者（4,5）,
则L1的方程为y=3,或者x=4