证明lim(1⼀x+1)^x当x趋于无穷时存在极限

2024-11-08 04:45:20

推荐回答（2个）

回答1：

你看这样行不行啊，要用到级数的知识。

在-1
设p(t)=(1+t)^(1/t)

lnp(t)=ln(1+t)/t=1-t/2+t^2/3+.....
所以t->0+的时候，1-t/2因为lim(t->0+) (1-t/2)=1
所以，根据夹逼定理，lim(t->0+) lnp(t)=1
所以lim(t->0+) p(t)=lim(t->0) (1+t)^(1/t)=e
所以lim(x->+∞) (1/x+1)^x=e

至于lim(x->-∞) (1/x+1)^x=e
可以求lim(t->0+) (1-t)^(1/t)的极限
跟上面的过程一致。

最后得出lim(x->∞) (1/x+1)^x=e

这个方法，并没有事先假设lim(x->∞) (1/x+1)^x的存在，而是真正的夹逼出来的。

回答2：

lim(x->∞) (1+ 1/x)^x
=e