用求导的方法求最值

y=x+√x

(x>0)

则：y'=1+1/2*x∧(-1/2)

=1+1/(2√x)>0

所以，y单调递增，[0,4]内：y(max)=y(x=4)=6

y(min)=y(x=0)=0。

这是在闭区间[0,4]内的最值，在（0,4）内没有最大最小值。

微分方程

是伴随着微积分学一起发展起来的。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。

极值点，边界，间断点，是最值出现的地方，在这些点的值中，选取最大最小值。
（1）f'=3x²+4x+1=（3x+1）（x+1），极值点x=-1，x=-1/3，都在区间里面。
f(-2)=-8+8-2+1=-1,f(-1)=-1+2-1+1=1,f(-1/3)=-1/27+2/9-1/3+1=(-1+6-9+27)/27=23/27,f(2)=8+8+2+1=19,最大19，最小-1
（2）f'=2x+4=2(x+2),极值点x=-2，不在区间内，f(-1)=1-4+2=-1,f(1)=1+4+2=7,

求导：y'=1+1/(2√x)在（0,4)上恒大于零，所以y=x+√x是增函数，又因为函数在[0,4]上连续，所以y在x=4时取得最大值，Ymax=4+√4=6

用拉格朗日乘数法，构造辅助函数F（x,y,λ）=3x+4y+λ(x²+y²-4),对其求一阶偏导数,并令其等于零。Fx'=3+2λx=0 Fy'=4+2λy=0 Fλ'=x²+y²-4=0 解得λ=±5/4, x=±6/5, y=±8/5。故3x+4y的最大值为10，最小值为-10。

如图