191问答库 > 数列{a n }的前n项和为S n ，数列{b n }的前n项的和为T n ，{b n }为等差数列且各项均为正数，a 1 =1，a

数列{a n }的前n项和为S n ，数列{b n }的前n项的和为T n ，{b n }为等差数列且各项均为正数，a 1 =1，a

2025-04-04 16:33:22

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回答1：

（1）当n≥2时，a_n+1 -a_n =（2S_n +1）-（2S_n-1 +1）=2a_n ．
∴a_n+1 =3a_n ，即

a n+1

a n

=3 …4分
又 a₂ =2S₁ +1=3=3a₁   …2分
∴{a_n }是公比为3的等比数列    …8分
（2）由（1）得：a_n =3^n-1    …9分
设{b_n }的公差为d（d＞0），∵T₃ =15，∴b₂ =5  …11分
依题意a₁ +b₁ ，a₂ +b₂ ，a₃ +b₃ 成等比数列，有（a₂ +b₂ ）² =（a₁ +b₁ ）（a₃ +b₃ ），
∴64=（5-d+1）（5+d+9）
d² +8d-20=0，得d=2，或d=-10（舍去） …14分
故T_n =3n+

n(n-1)

×2 =n² +2n …16分．