满秩矩阵相乘的秩？

m×n阶矩阵A的秩是p，当且仅当存在m×p阶满秩矩阵X和n×p阶满秩矩阵Y使得A=XY′。
证明(→)如果A的秩是p，设a1,a2,…,an是A的列向量，则在A的列向量中一定可以找到由p个向量ai1,ai2,…,aip组成它的最大线性无关组，这个向量组和A的列向量全体构成的向量组等价，即可以互相线性表出。记
Xk=aik,k=1,2,…,p
则矩阵X=(x1,x2,…,xp)一定是列满秩的，X的秩是p.
由于A的列向量均可用B的列向量线性表出，则有
ai=yi1b1+yi2b2+…+ yipbp, i=1,2,…,n
记Y=(yij)是n×p阶矩阵，则A= XY′
下面仅需证明Y的秩是p即可，由于矩阵Y的第i1,i2,…,in行恰组成一个p阶单位阵，于是有Y的秩≥p,，又Y的秩≤它的列数p，故有Y的秩是p.
(←)如果存在m×p阶满秩矩阵X和n×p阶满秩矩阵Y使得A=XY′，两个矩阵乘积的秩不超过其中任意一个矩阵的秩，故A的秩≤p,对式A=XY′两边左乘X的转置得，X′A= X′XY′，由于X 是列满秩的，则X′X 是可逆的,（参看网页：
http://hi.baidu.com/lca001/blog/item/e0f24c2b88848a355243c1ed.html），
故得(X′X)^-1X′A= Y′，同样的理由Y′的秩p≤A的秩,故A的秩为p.

利用结论，rank（T)=P，当且仅当存在可逆矩阵M，N使得
T=M*diag（Ip,0)*N

必要性：如果rank(A)=p，由结论存在可逆矩阵P,Q，使得
A=P*diag（Ip,0)*Q
把P分成两列P=(P1,P2)，Q分成两行Q=(Q1,Q2)，相乘即可得到A=P1*Q1
取X=P1,Y'=Q1即可。P1，Q1是可逆阵的列阵，都是列满枝的。

充分性：X：m*p 的秩是p，存在P1,Q1,使得
X=P1×(Ip,0)'*Q1, Y=P2×(Ip,0)'*Q2,

A=XY'=P1×[[Q1Q2',0],[0,0]]*P2'

P1,P2'可逆，所以
rank(A)=rank(P1×[[Q1Q2',0],[0,0]]*P2')=rank([[Q1Q2',0],[0,0]])=rank(Q1*Q2')=p

Ip是p阶单位阵。