勾股定理应用题

23．求下列各式中x的值．
（1）16x2﹣81=0； （2）﹣（x﹣2）3﹣64=0．
24．设2+的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y的值与x﹣1的算术平方根．
25．将一个体积为216cm3的正方体分成等大的8个小正方体，求每个小正方体的表面积．
26．如图，一个长为5m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙4m．
（1）求梯子的顶端距地面的垂直距离；
（2）若将梯子的底端向墙推进1m，求梯子的顶端升高了多少米；
（3）若使梯子的顶端距地面4.8m，此时应将梯子再向墙推进多少米？
27．在一平直河岸l的同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离AM，BN分别是3km，2km，且MN为3km．现计划在河岸上建一抽水站P，用输水管向两个村庄A，B供水，求水管长度最少为多少．（精确到0.1km)
23．求下列各式中x的值．
（1）16x2﹣81=0；
（2）﹣（x﹣2）3﹣64=0．
【考点】立方根；平方根．
【专题】计算题．
【分析】（1）方程整理后，利用平方根定义开方即可求出x的值；
（2）方程整理后，利用立方根定义开立方即可求出x的值．
【解答】解：（1）方程整理得：x2=，
开方得：x=±，
解得：x1=，x2=﹣；
（2）方程整理得：（x﹣2）3=﹣64，
开立方得：x﹣2=﹣4，
解得：x=﹣2．
【点评】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
24．设2+的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y的值与x﹣1的算术平方根．
【考点】估算无理数的大小；算术平方根．
【分析】先找到介于哪两个整数之间，从而找到整数部分，小数部分让原数减去整数部分，然后代入求值即可．
【解答】解：因为4＜6＜9，所以2＜＜3，
即的整数部分是2，
所以2+的整数部分是4，小数部分是2+﹣4=﹣2，
即x=4，y=﹣2，所以==．
【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，解题关键是估算出整数部分后，然后即可得到小数部分．
25．将一个体积为216cm3的正方体分成等大的8个小正方体，求每个小正方体的表面积．
【考点】立方根．
【专题】计算题．
【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：6×（）2=54（cm2），
则每个小正方体的表面积为54cm2．
【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
26．如图，一个长为5m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙4m．
（1）求梯子的顶端距地面的垂直距离；
（2）若将梯子的底端向墙推进1m，求梯子的顶端升高了多少米；
（3）若使梯子的顶端距地面4.8m，此时应将梯子再向墙推进多少米？
【考点】勾股定理的应用．
【分析】（1）在直角三角形ECF中，利用勾股定理AC即可；
（2）在直角三角形BC中，利用勾股定理计算出AC长即可；
（3）首先计算出AC=4.8m时BC的长度，然后再根据题意得到应将梯子再向墙推进的距离．
【解答】解：（1）由题意得：EF=5m，CF=4m，
则EC===3（m）．
答：梯子的顶端距地面的垂直距离是3m；
（2）由题意得：BF=1m，则CB=4﹣1=3（m），
AC===4（m），
则AE=AC﹣EC=1m．
答：梯子的顶端升高了1m；
（3）若AC=4.8m，则BC===1.4（m），
应将梯子再向墙推进3﹣1.4=1.6（m）．
答：应将梯子再向墙推进1.6m．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
27．在一平直河岸l的同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离AM，BN分别是3km，2km，且MN为3km．现计划在河岸上建一抽水站P，用输水管向两个村庄A，B供水，求水管长度最少为多少．（精确到0.1km）
【考点】轴对称-最短路线问题．
【分析】根据轴对称的性质：找出点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线MN于点P，结合图形利用勾股定理即可得出答案．
【解答】解：如图，
延长AM到A′，使MA′=AM，连接A′B交l于P，过A′作A′C垂直于BN的延长线于点C，
∵AM⊥l，
∴PB=PA′，
∵A′M⊥l，CN⊥l，A′C⊥BC，
∴四边形MA′CN是矩形，
∴CN=A′M=3km，A′C=MN=3km，
∴BC=3+2=5km，
∴AP+BP=A′P+PB=A′B=≈5.8km．
答：水管长度最少为5.8km．
【点评】此题考查轴对称﹣最短路线问题，掌握轴对称的性质，勾股定理，矩形的判定与性质是解决问题的关键．

此题有误，应该是AC=BC，
解：绕点C旋转△CPB，使CB与CA重合，点P与点Q重合，连接PQ
则∠PCQ=90°，∠PQC=45°
根据勾股定理，PQ=2根号2
在△APQ
中，AQ=1，AP=3，PQ=2根号2
根据勾股定理的逆定理，∠AQP=90°
∴∠BPC=∠AQC=135°

先得水池为满的，才可解
先设水池深X尺，那么芦苇应是X+1尺，如下图，
有
5^2+X^2=(X+1)^2
解的X=12
水池深12尺，芦苇高13尺

三、解答题（21题8分、22题6分，23、24每题8分，25、26、27每题10分，共60分）

 21．（8分）（2015春•香坊区期末）解下列一元二次方程

（1）（x﹣5）2=4

（2）x2+3x+1=0．

 22．（6分）（2015春•香坊区期末）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB，点A、B均在小正方形的顶点上．

（1）在图1的方格纸上画出以AB为一边的直角三角形ABC，点C在小正方形的顶点上，且三角形ABC的面积为5；

（2）在图2的方格纸中画出以AB为一边的菱形ABDE，点D、E均在小正方形的顶点上，且菱形ABDE的面积为8．

 23．（8分）（2010•哈尔滨）体育课上，老师用绳子围成一个周长为30米的游戏场地，围成的场地是如图所示的矩形ABCD．设边AB的长为x（单位：米），矩形ABCD的面积为S（单位：平方米）．

（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；

（2）若矩形ABCD的面积为50平方米，且AB＜AD，请求出此时AB的长．

 24．（8分）（2015春•香坊区期末）如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AC、BE．

（1）如图1，求证：四边形ABEC为平行四边形；

（2）如图2，连接AE，若AE⊥BC，请直接写出图2中的所有等腰三角形．

 25．（10分）（2015春•香坊区期末）已知A、B两地的路程是6千米．甲骑自行车、乙骑摩托车，他们沿相同路线由A地到B地走完全程，甲、乙行驶过程中的路程随时间变化的函数关系的图象如图所示，根据图象解决下列问题：

（1）分别求出甲、乙两人行驶路程y（单位：千米）与时间x（单位：分）的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）求当x为何值时，两人相距1千米？

 26．（10分）（2015春•香坊区期末）如图，在菱形ABCD中，E是BC上一点，F是CD上一点，连接AE、AF、EF，且∠AEB=∠AEF．

（1）如图1，求证：AF平分∠EFD；

（2）如图2，若∠C=90°，求证：EF=BE+DF；

（3）在（2）的条件下，若AB=3BE，AE=2，求AF的长．

 27．（10分）（2015春•香坊区期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB：y=x+b交x轴于点B，直线AC：y=﹣2x+10，交x轴于点C，且A点的纵坐标为8．

（1）求直线AB的解析式；

（2）动点P从B出发，沿BO以3个单位/秒的速度向终点O运动，过P作PE⊥x轴，交AB于E，过E作EF⊥y轴，交AC于F，设点P的运动时间为t，线段EF的长为d，求d与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．

（3）在（2）的条件下，过B作BR⊥AC于R，射线BR交直线EF于Q，当t为何值时，以O、P、F、Q为顶点的四边形唯爱平行四边形？并求出此时QR的长．