高数求极限，四个题求解

第一题是定积分定义求极限。

如图所示求采纳谢谢。类似，

右边那一题是数学分析，

用到stolz定理。

难倒九成的人。，，你出这题，不是为难我们么，如果你问王者荣耀谁最厉害估计才有人懂。

详细过程可以是，1小题，应用定积分定义求解，原式=lim(n→∞)∑(1/n)1/[1+(i/n)]，i=1,2，…，n。按照定积分的定义，原式=∫(0,1)dx/(1+x)=ln(1+x)丨(x=0,1)=ln2。
2小题，也应用定积分定义求解。∵[(n!)^(1/n)]=(n!/n^n)^(1/n)=e^[∑(1/n)ln(i/n)，i=1,2，…，n。按照定积分的定义，原式=e^[∫(0,1)lnxdx]。
而，∫(0,1)lnxdx=(xlnx-x)丨(x=0,1)=-1。∴原式=1/e。
3小题，用“夹逼定理+定积分求解"。∵1≤i≤n时，1/n≤i/n≤1，∴1/(1+n)≤1/(n+i/n)≤1/(n+1/n)。∴∑sin(iπ/n)/(1+n)≤∑sin(iπ/n)/(n+i/n)≤∑sin(iπ/n)/(n+1/n)。
而，lim(n→∞)[∑sin(iπ/n)/(n+1/n)]=lim(n→∞)[n/(n+1/n)]*lim(n→∞)∑(1/n)sin(iπ/n)=∫(0,1)sin(πx)dx=2/π。同理，lim(n→∞)[∑sin(iπ/n)/(n+1)]=2/π。∴原式=2/π。
4小题，应用夹逼定理求解。0≤i≤n时，n²≤(i+n)²≤(n+n)²，∴1/(n+n)²≤1/(n+i)²≤1/n²。
∴∑1/(n+n)²≤∑1/(n+i)²≤∑1/n²，即∑1/(4n)≤∑1/(n+i)²≤∑1/n。n→∞时，两端的极限均为0，∴原式=0。
供参考。