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（1）已知a，b，x，y是正实数，求证： a 2 x + b 2 y ≥ (a+b) 2
（1）已知a，b，x，y是正实数，求证： a 2 x + b 2 y ≥ (a+b) 2
2025-05-06 14:08:18
推荐回答（1个）
回答1：
（1）应用二元均值不等式，得
(
a
2
x
+
b
2
y
)(x+y)=
a
2
+
b
2
+
a
2
y
x
+
b
2
x
y
≥
a
2
+
b
2
+2
a
2
y
x
b
2
x
y
=（a+b）
2
，
故
a
2
x
+
b
2
y
≥
(a+b)
2
x+y
．
当且仅当
a
2
y
x
=
b
2
x
y
，即
a
x
=
b
y
时上式取等号．
（2）由（1）
f(x)=
1
2
3-
tan
2
x
+
3
2
8+
sec
2
x
≥
(1+3)
2
11+1
=
4
3
．
当且仅当
1
3-
tan
2
x
=
3
8+
sec
2
x
，即 x=kπ，k∈Z时上式取最小值，即[f（x）]
min
=
4
3
．
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