191问答库 > 已知a，b，c∈（0，+∞），满足abc（a+b+c）=1，S=（a+c）（b+c），当S取最小值时，c的最大值为______

已知a，b，c∈（0，+∞），满足abc（a+b+c）=1，S=（a+c）（b+c），当S取最小值时，c的最大值为______

2025-02-24 00:32:55

推荐回答（1个）

回答1：

∵a＞0，b＞0，c＞0，且abc（a+b+c）=1，
∴ c 2 +c(a+b)=

1

ab

∴S=（a+c）（b+c）=ab+（a+b）c+c² = ab+

1

ab

≥2

ab?

1

ab

=2
当且仅当ab=

1

ab

即ab=1时取等号
∴S_min =2
此时1=abc（a+b+c）=c（a+

1

a

+c）= c 2 +(a+

1

a

) c≥c² +2c
∴c² +2c-1≤0
∵c＞0
∴ 0＜c≤

2

-1
∴c的最大值为

2

-1
故答案为：

2

-1