阅读资料：小明是一个爱动脑筋的好学生，他在学习了有关圆的切线性质后，意犹未尽，又查阅到了与圆的切线

解答：解：（Ⅰ）当PB不经过⊙O的圆心O时，等式PC ²=PA?PB仍然成立．
证法一：如图2-1，连接PO并延长交⊙O于点D，E，连接BD、AE，
∴∠B=∠E，∠BPD=∠APE，
∴△PBD∽△PEA，
∴

PD

PA

＝

PB

PE

，
即PA?PB=PD?PE，
由图1知，PC²=PD?PE，
∴PC²=PA?PB．

证法二：如图2-2，过点C作⊙O的直径CD，连接AD，BC，AC，
∵PC是⊙O的切线，
∴PC⊥CD，
∴∠CAD=∠PCD=90°，
即∠1+∠2=90°，∠D+∠1=90°，
∴∠D=∠2．
∵∠D=∠B，
∴∠B=∠2，
∠P=∠P，
∴△PBC∽△PCA，
所以

PA

PC

＝

PC

PB

，
即PC ²=PA?PB．

（Ⅱ）由（1）得，PC²=PA?PB，PC=12，AB=PA，
∴PC²=PA?PB=PA（PA+AB）=2PA²，
∴2PA²=144，
∴PA=±6

2

（负值无意义，舍去）．
∴PA=6

2

．

（2）证法一：过点A作AF∥BC，交PD于点F，
∴

PB

PA

=

BD

AF

，

CD

AF

=

CE

AE

．
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
∴

BD

AF

=

CD

AF

，
∴

PB

PA

=

CE

AE

．
∵PC ²=PA?PB，
∴

PC2

PA2

=

PA?PB

PA2

=

PB

PA

=

CE

AE

，
即

PC2

PA2

=

CE

AE

．

证法二：过点A作AG∥BC，交BC于点G，
∴

PB

PA

=

BD

GD

，

CD

DG

=

CE

AE

．
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
∴

BD

GD

=

CD

DG

，
∴

PB

PA

=

CE

AE

．
∵PC ²=PA?PB，
∴

PC2

PA2

=

PA?PB

PA2

=

PB

PA

=

CE

AE

，
即

PC2

PA2

=

CE

AE

．