求定积分∫[1,-1]xcos2x dx

要过程谢谢∫[1,-1]xsin^2x dx答案和这个是不是一样也要过程谢谢
2025-03-13 01:24:15
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回答1:

实际上x*cosx是一个奇函数,
那么积分之后得到的是偶函数,
所以代入互为相反数的上下限1和-1,
定积分值为0

如果使用分部积分法
∫ x cos2x dx
=∫ x/2 d(sin2x)
= x/2 * sin2x - ∫sin2x d(x/2)
=x/2 * sin2x - 1/4 *∫sin2x d 2x
=x/2 * sin2x +1/4 *cos2x
代入上下限1和-1,显然定积分结果为0

而同样x sin^2x也是奇函数,
定积分之后代入上下限1和-1,值也为0
使用分部积分法的话
∫x sin^2x dx
=∫ x *(1/2- 1/2*cosx)dx
=1/4 *x^2 - ∫ x/2 d(sinx)
=1/4 *x^2 - x/2 *sinx + ∫ 1/2*sinx dx
=1/4 *x^2 - x/2 *sinx - 1/2 *cosx
显然代入上下限1和-1等于0