急急急！求Z=arctan（Y⼀X）的二阶偏导数

结果为：-2xy/(x²+y²)²

解题过程如下：

原式=∂z/∂x=1/(1+y²/x²)*(-y/x²)=-y/(x²+y²)

∂z/∂y=1/(1+y²/x²)*1/x=x/(x²+y²)

∂²z/∂x²=y/(x²+y²)*2x=2xy/(x²+y²)²

∂²z/∂x∂y=-[x²+y²-2y²]/(x²+y²)²=(y²-x²)/(x²+y²)²

∂²z/∂y²=-2xy/(x²+y²)²

扩展资料

求二阶偏导数的方法：

当函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)的两个偏导数 f'x(x0,y0) 与 f'y(x0,y0)都存在时，我们称 f(x,y) 在 (x0,y0)处可导。如果函数 f(x,y) 在域 D 的每一点均可导，那么称函数 f(x,y) 在域 D 可导。

此时，对应于域 D 的每一点 (x,y) ，必有一个对 x (对 y )的偏导数，因而在域 D 确定了一个新的二元函数，称为 f(x,y) 对 x (对 y )的偏导函数。

设有二元函数 z=f(x,y) ，点(x0,y0)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0 有增量 △x ，相应地函数 z=f(x,y) 有增量（称为对 x 的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在，那么此极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)处对 x 的偏导数，记作 f'x(x0,y0)。

函数 z=f(x,y) 在(x0,y0)处对 x 的偏导数，实际上就是把 y 固定在 y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在 x0处的导数。

∂z/∂x=1/(1+y²/x²)*(-y/x²)=-y/(x²+y²)
∂z/∂y=1/(1+y²/x²)*1/x=x/(x²+y²)
∂²z/∂x²=y/(x²+y²)*2x=2xy/(x²+y²)²
∂²z/∂x∂y=-[x²+y²-2y²]/(x²+y²)²=(y²-x²)/(x²+y²)²
∂²z/∂y²=-2xy/(x²+y²)²