高等数学 极限问题

这是推广了的用定积分定义计算极限的问题。如果在极限号后面的式子里提取公因式1/n，就变成了1/n *{1/(1+1/n)+1/(1+3/n)+...+1/[1+(2n+1)/n]}，再把大括号外面的1/n换成2/n，积分和的模样就有了。
解：对函数f(x)=1/(1+x)在[0,2]上按如下作积分和：
取足够大的n，分割[0,2]为：[0, 1/n], [1/n, 3/n], [3/n, 5/n],..., [(2n-3)/n, (2n-1)/n], [(2n-1)/n, 2].
取每个小区间的右端点，作积分和
Sn=1/(1+1/n) * 1/n + { 1/(1+3/n) * 2/n +1/(1+5/n) * 2/n + ... +1/[1+(2n-1)/n] * 2/n } +1/(1+2) * 1/n
=2{1/(n+1)+1/(n+3)+ ... +1/[n+(2n-1)]+1/[n+(2n+1)] } -1/(n+1)-2/[n+(2n+1)]+1/3n.
在上式两端另n趋于无穷取极限，并设原所求极限值为A，注意到Sn的极限等于1/(1+x)在[0,2]上的定积分值即ln3，有 ln3=2A，即A=1/2 * ln3.

小于等于1, 大于等于1/3

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