离散数学中关于群的两道证明题

2025-03-12 15:34:25

推荐回答（1个）

回答1：

只需证明若 c^r = 1那么 r | n 且 r | m

由条件知道：c = aba^-1b^-1

所以 c^n = a^nb^na^-nb^-n = 1 (注意这里的关键是：将b与a互换时会产生一个c^-1，而这与b^-1和a^-1互换产生的c抵消)

同理 c^m = 1. 证毕。
充分性：若HK = KH，那么取k^-1*h^-1 = h'k' 为hk的逆，然后证明乘法封闭性即可（这很显然）

必要性：只需证明hk=k'h'对任意hk成立，由于HK构成群所以存在 h''k''*hk = 1,即 hk = k''^-1h''^-1，取k' = k''^-1, h' = h''^-1即可证明。